Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)M，MN，NE．

（1）依題意，補(bǔ)全圖形；
（2）求證：四邊形EFMN是矩形；
（3）連接DM，若DM⊥AC于點(diǎn)M，ON=3，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為OA，OB的中點(diǎn)，

∴EF∥AB，EF= AB，

同理：NM∥CD，MN= DC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，

∴EF∥NM，EF=MN，

∴四邊形EFMN是平行四邊形，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)，

∴EO= AO，MO= CO，

在矩形ABCD中，AO=CO= AC，BO=DO= BD，

∴EM=EO+MO= AC，

同理可證FN= BD，

∴EM=FN，

∴四邊形EFMN是矩形

（3）解：∵DM⊥AC于點(diǎn)M，

由（2）MO= CO，

∴DO=CD，

在矩形ABCD中，

AO=CO= AC，BO=DO= BD，AC=BD，

∴AO=BO=CO=DO，

∴△COD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∵M(jìn)N∥DC，

∴∠FNM=∠ODC=60°，

在矩形EFMN中，∠FMN=90°．

∴∠NFM=90°﹣∠FNM=30°，

∵NO=3，

∴FN=2NO=6，F(xiàn)M=3 ，MN=3，

∵點(diǎn)F，M分別為OB，OC的中點(diǎn)，

∴BC=2FM=6 ，

∴矩形的面積為BCCD=36

【解析】（1）根據(jù)題目要求畫(huà)出圖形即可；（2）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得EF∥AB，EF= AB，NM∥CD，MN= DC，再由矩形的性質(zhì)可得AB∥DC，AB=DC，AC=BD，進(jìn)而可得四邊形EFMN是矩形；（3）根據(jù)條件可得DM垂直平分OC，進(jìn)而可得DO=CO，然后證明△COD是等邊三角形，進(jìn)而得出BC，CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．