Question

【題目】已知：點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．求證：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上時，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并說明理由；（3）若BD=CD，直接寫出∠BAD的度數(shù)．
（3）若BD=CD，直接寫出∠BAD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DAE=90°，

∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

∴BD⊥CE；

（2）

解：2AD2=BD2+CD2，

理由：如圖2，

將線段AD繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．

與（1）同理可證CE=BD，CE⊥BD，

∵∠EAD=90°AE=AD，

∴ED=AD，

在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2，

∴2AD2=BD2+CD2．

（3）

解：方法一：

如圖3，

①當(dāng)D在BC邊上時，將線段AD1繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BE，

與（1）同理可證△ABE≌△ACD1，

∴BE=CD1，BE⊥BC，

∵BD=CD，

∴BD1=BE，

∴tan∠BD1E==，

∴∠BD1E=30°，

∵∠EAD1=∠EBD1=90°，

∴四邊形A、D1、B、E四點(diǎn)共圓，

∴∠EAB=∠BD1E=30°，

∴∠BAD1=90°﹣30°=60°；

②將線段AD繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AF，連接CF．

同理可證：∠CFD2=30°，

∵∠FAD2=∠FCD2=90°，

∴四邊形A、F、D2、C四點(diǎn)共圓，

∴∠CAD2=∠CFD2=30°，

∴∠BAD2=90°+30°=120°，

綜上，∠BAD的度數(shù)為60°或120°．

方法二：

①當(dāng)D在線段BC上時，如圖3，連接DE，則△DCE是直角三角形，∠DCE=90°；

∵BD=CD，CE=BD，

∴CE=CD，

∴∠EDC=60°，

∴∠ADB=180°﹣∠EDC﹣∠ADE=75°，

∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BDA=60°；

②當(dāng)B在BC延長線上時，如圖3，△ECD是直角三角形，∠ECD=90°；

∵CE=BD，

∴CE=CD，

∴∠CED=30°，

∴∠AEC=45°﹣∠CED=15°，

∴∠CAE=180°﹣∠ACE﹣∠AEC=120°，

∴∠BAD=∠CAE=120°．

綜上，∠BAD的度數(shù)為60°或120°．

【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CEF全等，從而得證；
（2）將線段AD繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．與（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根據(jù)勾股定理即可求得2AD2=BD2+CD2；
（3）分兩種情況分別討論即可求得．