Question

如圖（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．
（1）求證：CE=CF；
（2）若AD=

1

4

AB，CF=

1

3

CB，△ABC、△CEF、△ADE的面積分別為S_△ABC、S_△CEF、S_△ADE，且S_△ABC=24，則S_△CEF-S_△ADE=

2

；
（3）將圖（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其它條件不變，如圖（2）所示，試猜想：BE′與CF有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求出∠CAF=∠BAF，∠B=∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠CEF=∠CFE，即可得出答案；
（2）求出△CAF和△ACD的面積，再相減即可求出答案；
（3）過F作FH⊥AB于H，求出CF=FH=CE，證△CEE′≌△FHB，推出CE′=BF，都減去FE′即可．

解答：（1）證明：如圖（1），
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAF，
∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAF，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF．

（2）解：∵S_△ACB=24，AD=

1

4

AB，CF=

1

3

CB，
∴S_△ACD=S_△ADE+S_△ACE=

1

4

×24=6①，
S_△ACF=S_△CEF+S_△ACE=

1

3

×24=8②，
∴②-①得：S_△CEF-S_△ADE=8-6=2，
故答案為：2．

（3）BE′=CF，
證明：如圖（2），過F作FH⊥AB于H，
∵CD⊥AB，
∴CD∥FH，
∴∠ECE′=∠HFB，
∵△ADE沿AB平移到△A′D′E′，
∴DE=D′E′，DE=D′E′，
∴四邊形EDD′E′是平行四邊形，
∴EE′∥AB，
∵∠CDB=90°，
∴∠CEE′=∠CDB=90°=∠FHB，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=90°，F(xiàn)H⊥AB，
∴CF=FH，
∵CF=CE，
∴CE=FH，
在△CEE′和△FHB中

∠CEE′=FHB CE=FH ∠ECE′=∠HFB

∴△CEE′≌△FHB（ASA），
∴CE′=BF，
∴CE′-FE′=BF-E′F，
即BE′=CF．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定，三角形面積，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)的應用，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．