【題目】數(shù)學課上,潘老師給出如下定義:如果一個三角形有一邊上的高線等于這條邊的一半,那么稱這個三角形為“垂美三角形”,這條邊稱為這個三角形的“垂美邊”.
概念理解:
(1)如圖①,已知∠A=90°,AB=AC,請證明等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”.
探索運用:
(2)已知等腰△ABC是“垂美三角形”,請求出頂角的度數(shù).
能力提升:
(3)如圖②,在直角坐標系中,點A為x軸正半軸上動點,在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點B,使△OAB是“垂美三角形”,且OA,OB均為“垂美邊”,若存在,請求出點B的坐標.
【答案】(1)證明見解析;(2)頂角為30°,90°或150°;(3)存在點B1(,1)、B2(-,-1),使△OAB是“垂美三角形”,且OA,OB均為“垂美邊
【解析】
過點A作AH⊥BC于H,根據(jù)等腰三角形的三線合一即可求證;
分三種情況求∠BAC的度數(shù):①若AB=AC,BC是“垂美邊”; ②若BA=BC,BC是“垂美邊”; ③若CA=CB,BC是“垂美邊”
(3) 當△OAB是“垂美三角形”,且OA,OB均為“垂美邊”,設△ABC的邊OA、OB上的高分別記為ha、hb,則由“垂美三角形”的定義可知,ha=OA, hb=OB.根據(jù)面積相等,得出OA=OB, ∠AOB的度數(shù)為30°或150°. 設B(m,)即可得出B點坐標
(1)證明:如圖,過點A作AH⊥BC于H.
∵AB=AC,
∴H是BC中點,
∵∠BAC=90°,
∴AH=BC,
∴等腰Rt△ABC是“垂美三角形”.
(2)①如圖,若AB=AC,BC是“垂美邊”,過點A做AH⊥BC于H.
則AH=BH=CH,且AH⊥BC,
∴∠B=∠C=45°,
∴∠BAC=90°;
②如圖,若BA=BC,BC是“垂美邊”,過點A做AH⊥BC于H,
則BC=2AH=AB,且AH⊥BC,
∴∠B=30°;
③如圖,若CA=CB,BC是“垂美邊”,過點A做AH⊥BC交BC的延長線于H,
則BC=2AH=AC,且AH⊥BC,
∴∠ACD=30°,從而∠ACB=150°.
綜上所述,頂角為30°,90°或150°.
(3)當△OAB是“垂美三角形”,且OA,OB均為“垂美邊”,設△ABC的邊OA、OB上的高分別記為ha、hb,則由“垂美三角形”的定義可知,ha=OA, hb=OB.
而S△ABC=OA ha=OA hb,
∴OA=OB.
由(2)可知,∠AOB的度數(shù)為30°或150°.
設B(m,)則由“垂美三角形”的定義有:=OA,從而OA2=.
又OB2=m2+,則有OA=OB可得: ,解得m=.
故存在點B1(,1)、B2(-,-1),使△OAB是“垂美三角形”,且OA,OB均為“垂美邊”.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y =-x+4與x軸,y軸分別交于點B,C,點A在x軸負半軸上,且OA=OB, 拋物線y =ax2+bx+4經(jīng)過A,B,C三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點,設點P的橫坐標為m,過點P作PD⊥BC,垂足為D,用含m的代數(shù)式表示線段PD的長,并求出線段PD的最大值;
(3)設點E為拋物線對稱軸與直線BC的交點,若A,B,E三點到同一直線的距離分別是d1,d2,d3,問是否存在直線l,使得d1= d2=d3? 若存在,請直接寫出d3的值,若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在同一平面上,兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起,使斜邊AC完全重合,且頂點B,D分別在AC的兩旁,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=30°,AB=BC=4cm
(1)填空:AD= (cm),DC= (cm)
(2)點M,N分別從A點,C點同時以每秒1cm的速度等速出發(fā),且分別在AD,CB上沿A→D,C→B方向運動,點N到AD的距離(用含x的式子表示)
(3)在(2)的條件下,取DC中點P,連接MP,NP,設△PMN的面積為y(cm2),在整個運動過程中,△PMN的面積y存在最大值,請求出y的最大值.
(參考數(shù)據(jù)sin75°=,sin15°=)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,A(4,3)是反比例函數(shù)y=在第一象限圖象上一點,連接OA,過A作AB∥x軸,截取AB=OA(B在A右側(cè)),連接OB,交反比例函數(shù)y=的圖象于點P.
(1)求反比例函數(shù)y=的表達式;
(2)求點B的坐標;
(3)求△OAP的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】李白筆下“孤帆一片日邊來”描述了在噴薄而出的紅日映襯下,遠遠望見一葉帆船駛來的壯美河山之境.聰明的小芬同學利用幾何圖形,構(gòu)造出了此意境!如圖半徑為5的⊙0在線段AB上方,且圓心O在線段AB的中垂線上,到AB的距離為,已知AB=20.線段PQ在AB上(AP<AQ),PQ=6,以PQ的中點C為頂點向上作Rt△CDE,其中∠D=90°,CD=3,sin∠DCE=sin∠DCQ=,設AP=m,當邊DE與⊙O有交點時,則m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班選舉班干部,全班有40名同學都有選舉權(quán)和被選舉權(quán),他們的編號分別為1,2,…,40.老師規(guī)定:同意某同學當選的記“1”,不同意(含棄權(quán))的記“0”.
如果令
其中i=1,2,…,40;j=1,2,…,40.則a1,1a1,2+a2,1a2,2+a3,1a3,2+…+a40,1a40,2表示的實際意義是( 。
A. 同意第1號或者第2號同學當選的人數(shù)
B. 同時同意第1號和第2號同學當選的人數(shù)
C. 不同意第1號或者第2號同學當選的人數(shù)
D. 不同意第1號和第2號同學當選的人數(shù)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于某一函數(shù)給出如下定義:若存在實數(shù)m,當其自變量的值為m時,其函數(shù)值等于﹣m,則稱﹣m為這個函數(shù)的反向值.在函數(shù)存在反向值時,該函數(shù)的最大反向值與最小反向值之差n稱為這個函數(shù)的反向距離.特別地,當函數(shù)只有一個反向值時,其反向距離n為零.
例如,圖中的函數(shù)有4,﹣1兩個反向值,其反向距離n等于5.
(1)分別判斷函數(shù)y=﹣x+1,y=,y=x2有沒有反向值?如果有,直接寫出其反向距離;
(2)對于函數(shù)y=x2﹣b2x,
①若其反向距離為零,求b的值;
②若﹣1≤b≤3,求其反向距離n的取值范圍;
(3)若函數(shù)y=請直接寫出這個函數(shù)的反向距離的所有可能值,并寫出相應m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點O是Rt△ABC的AB邊上一點,∠ACB=90°,⊙O與AC相切于點D,與邊AB,BC分別相交于點E,F.
(1)求證:DE=DF;
(2)當BC=3,sinA=時,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2﹣bx.
(1)若此拋物線與直線y=x只有一個公共點,且向右平移1個單位長度后,剛好過點(3,0).
①求此拋物線的解析式;
②以y軸上的點P(0,n)為中心,作該拋物線關(guān)于點P對稱的拋物線y',若這兩條拋物線有公共點,求n的取值范圍;
(2)若a>0,將此拋物線向上平移c個單位(c>0),當x=c時,y=0;當0<x<c時,y>0.試比較ac與1的大小,并說明理由.
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