Question

【題目】如圖，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜邊AC完全重合，且頂點(diǎn)B，D分別在AC的兩旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm

（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）

（2）點(diǎn)M，N分別從A點(diǎn)，C點(diǎn)同時以每秒1cm的速度等速出發(fā)，且分別在AD，CB上沿A→D，C→B方向運(yùn)動，點(diǎn)N到AD的距離（用含x的式子表示）

（3）在（2）的條件下，取DC中點(diǎn)P，連接MP，NP，設(shè)△PMN的面積為y（cm2），在整個運(yùn)動過程中，△PMN的面積y存在最大值，請求出y的最大值．

（參考數(shù)據(jù)sin75°=，sin15°=）

Answer 1

【答案】（1）；；

（2）；

（3）

【解析】

試題根據(jù)直角三角形的勾股定理分別求出AD和DC的長度；過點(diǎn)N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延長線于F，則NE=DF，根據(jù)∠ACD=60°，∠ACB=45°得出∠NCF=75°，∠FNC=15°，設(shè)NC=x，根據(jù)sin15°的值得出FC的值，則得出NE、DF的長度，從而得出點(diǎn)N到AD的距離；根據(jù)sin75°得出FN的長度，根據(jù)PD和CP的長度得出PF的長度，從而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值求法求出最大值.

試題解析：（1）；；

（2）如圖，過點(diǎn)N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延長線于F，則NE=DF.∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，

∴∠NCF=75°，∠FNC=15°， ∴sin15°=，又NC=x， ∴，

∴NE=DF=. ∴點(diǎn)N到AD的距離為cm；

（3）∵sin75°=，∴， ∵PD=CP=，

∴PF=，

∴·

即，

當(dāng)=時，y有最大值為.