Question

3．如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC=60°，D、E分別為$\widehat{AB}$和$\widehat{AC}$的中點，連結DE．
（1）求證：BC=DE；
（2）若tan∠ADE=$\frac{1}{2}$，求sin∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得到∠E=$\frac{1}{2}$∠C，∠D=$\frac{1}{2}∠$B，求得∠D+∠E=60°，推出$\widehat{BC}=\widehat{DE}$，即可得到結論；
（2）由∠D+∠E=60°，得到tan（∠D+∠E）=tan60°=$\sqrt{3}$，根據(jù)tan（∠D+∠E）=$\frac{tan∠D+tan∠E}{1-tan∠D•tan∠E}$=$\frac{\frac{1}{2}+tan∠E}{1-\frac{1}{2}tan∠E}$=$\sqrt{3}$，解得：tan∠AED=1-2$\sqrt{3}$，將上式兩邊平方得求得sec∠AED=$\sqrt{14-4\sqrt{3}}$，即可得到結論．

解答 解：（1）∵D、E分別為$\widehat{AB}$和$\widehat{AC}$的中點，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠C，∠D=$\frac{1}{2}∠$B，
∵∠BAC=60°，
∴∠B+∠C=120°，
∴∠D+∠E=60°，
∴$\widehat{DE}$的度數(shù)=120°，
∵$\widehat{BC}$的度數(shù)=120°，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DE}$，
∴BC=DE；

（2）∵∠D+∠E=60°，
∴tan（∠D+∠E）=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴tan（∠D+∠E）=$\frac{tan∠D+tan∠E}{1-tan∠D•tan∠E}$=$\frac{\frac{1}{2}+tan∠E}{1-\frac{1}{2}tan∠E}$=$\sqrt{3}$，
解得：tan∠AED=1-2$\sqrt{3}$，
將上式兩邊平方得tan²∠AED=13-4$\sqrt{3}$，
∴sec²∠AED=tan²∠AED+1=14-4$\sqrt{3}$，
∴sec∠AED=$\sqrt{14-4\sqrt{3}}$，
∴sin∠AED=$\frac{1}{sec∠AED}$=$\frac{1}{\sqrt{14-4\sqrt{3}}}$．

點評 本題考查了三角形的外接圓和外心，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，熟練銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．