【題目】如圖,點O為直線AB上一點,過點O作直線OC,已知∠AOC≠90°,射線OD平分∠AOC,射線OE平分∠BOC,射線OF平分∠DOE.求:
(1)當0°<∠AOC<90°時,求∠FOB+∠DOC的度數(shù);
(2)若∠DOC=3∠COF,求∠AOC的度數(shù).
【答案】(1)135°(2)∠AOC=67.5°或135°
【解析】(1)先根據(jù)射線OD平分∠AOC,∠AOD=∠COD,射線OE平分∠BOC,得∠COE=∠BOE,再根據(jù)∠AOC+∠BOC=180°,得出∠DOE=90°,由射線OF平分∠DOE,得∠DOF=∠EOF=45°,從而求得∠FOB+∠DOC的度數(shù);
(2)設(shè)∠AOD=∠COD=x°,分∠AOC為銳角和鈍角兩種情況,根據(jù)∠DOC=3∠COF,得出x的值,即可求得∠AOC的度數(shù).
解:如圖1,
(1)∵射線OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD,
∵射線OE平分∠BOC,
∴∠COE=∠BOE,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC=90°,
∵OF平分∠DOE,
∴∠DOF=∠EOF=∠DOE=45°,
∴∠FOB+∠DOC=∠BOF+∠AOD=180°-∠DOF=280°-45°=135°;
(2)設(shè)∠AOD=∠COD=x°,則∠AOC=2x°,
由(1)的證明過程可知∠DOE=90°,∠DOF=∠EOF=45°,
∠AOC≠90°,分情況考慮如下:
①當∠AOC為銳角時,如圖1,∠COF=∠DOF-∠COD=45°-x,
∵∠DOC=3∠COF,
∴x=3(45°-x),
解得x=33.75°,
∴∠AOC=2x=67.5°.
②當∠AOC為鈍角時,如圖2,
∠COF=∠COD-∠DOF=x-45°,
∵∠DOC=3∠COF,
∴x=3(x-45°),
解得x=67.5°,
∴∠AOC=2x=135°.
綜合,可得∠AOC=67.5°或135°.
“點睛”本題考查了角的計算和角平分線的定義,一定要注意角平分線的幾種表示方法.如:∠1=∠2,∠1=∠AOB,∠AOB=2∠1.
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【題目】為了解學(xué)生暑期在家的閱讀情況,隨機調(diào)查了20名學(xué)生某一天的閱讀小時數(shù),具體統(tǒng)計如下:
閱讀時間(小時) | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 |
學(xué)生人數(shù)(名) | 1 | 2 | 8 | 6 | 3 |
則關(guān)于這20名學(xué)生閱讀小時的眾數(shù)是_____.
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