Question

14．如圖1，已知正方形ABCD的邊長為6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，點(diǎn)P為正方形ABCD邊上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A→B→C→D運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x，△APD的面積為y．

（1）如圖2，當(dāng)x=2時(shí)，y=6；
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=18；
（3）當(dāng)y=12時(shí)，求x的值；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P，使得△APD的周長最�。咳舸嬖�，求出此時(shí)x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由x=2，可得AP=2，然后由y=S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•AD，求得答案；
（2）直接由y=S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•AB，求得答案；
（3）由已知得只有當(dāng)點(diǎn)P在邊AB或邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=12，然后分別求解即可求得答案；
（4）首先作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A₁，連接A₁D交BC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求；再證得△A₁BP≌△DCP，即可求得答案．

解答 解：（1）如圖2，∵AP=x=2，AD=6，∠A=90°，
∴y=S_△APD=$\frac{1}{2}$AP•AD=6；
故答案為：6；

（2）如圖3，y=S_△APD=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$×6×6=18；
故答案為：18；

（3）解：由已知得只有當(dāng)點(diǎn)P在邊AB或邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y=12，
當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD•PA，
∴$\frac{1}{2}$×6×PA=12，
解得PA=4，
即x=4；
當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵S_△PAD=$\frac{1}{2}$AD×PD，
∴$\frac{1}{2}$×6×PD=12，
解得：PD=4，
∴x=AB+BC+CD=6+6+6-4=14；
綜上所述，當(dāng)y=12時(shí)，x=4或14；

（4）解：作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A₁，連接A₁D交BC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求．
∴A₁B=AB=CD=6，
∵∠PBA₁=∠PBA=90°，∠C=90°，
∴∠PBA₁=∠C，
在△A₁BP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PB{A}_{1}=∠C}\\{∠BP{A}_{1}=∠CPD}\\{{A}_{1}B=CD}\end{array}\right.$，
∴△A₁BP≌△DCP（AAS），
∴PB=PC=3，
∴x=AB+PB=9．

點(diǎn)評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、最短路徑問題以及動(dòng)點(diǎn)問題．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．