Question

【題目】如圖1，拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點(diǎn)A、B，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，其對稱軸為x=1，拋物線l2經(jīng)過點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E（5，0），交y軸于點(diǎn)D（0，﹣5）．

（1）求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為直線x=1上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，當(dāng)PA=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M為拋物線l2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥y軸（如圖2所示），交拋物線l1于點(diǎn)N，求點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；y=x2﹣4x﹣5；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；（3）在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長度的最大值為12.5．

【解析】

（1）由拋物線l1的對稱軸求出b的值，即可得出拋物線l1的解析式，從而得出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)D的坐標(biāo)求出拋物線l2的解析式即可；（2）作CH⊥PG交直線PG于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，y），求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而得出CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，由PA=PC可得PA2=PC2，由勾股定理分別將PA2、PC2用CH、PH、PG、AG表示，列方程求出y的值即可；（3）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出兩個(gè)拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1，4，①當(dāng)﹣1＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方，表示出MN的長度為關(guān)于x的二次函數(shù)，在x的范圍內(nèi)求二次函數(shù)的最值；②當(dāng)4＜x≤5時(shí)，點(diǎn)M位于點(diǎn)N的上方，同理求出此時(shí)MN的最大值，取二者較大值，即可得出MN的最大值.

（1）∵拋物線l1：y=﹣x2+bx+3對稱軸為x=1，

∴x=﹣=1，b=2，

∴拋物線l1的函數(shù)表達(dá)式為：y=﹣x2+2x+3，

當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

設(shè)拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；y=a（x﹣5）（x+1），

把D（0，﹣5）代入得：﹣5a=﹣5，a=1，

∴拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；y=x2﹣4x﹣5；

（2）作CH⊥PG交直線PG于點(diǎn)H，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），由（1）可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴CH=1，PH=|3﹣y |，PG=|y |，AG=2，

∴PC2=12+（3﹣y）2=y2﹣6y+10，PA2= =y2+4，

∵PC=PA，

∴PA2=PC2，

∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；

（3）由題意可設(shè)M（x，x2﹣4x﹣5），

∵MN∥y軸，

∴N（x，﹣x2+2x+3），

令﹣x2+2x+3=x2﹣4x﹣5，可解得x=﹣1或x=4，

①當(dāng)﹣1＜x≤4時(shí)，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣4x﹣5）=﹣2x2+6x+8=﹣2（x﹣）2+，

顯然﹣1＜≤4，

∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值12.5；

②當(dāng)4＜x≤5時(shí)，MN=（x2﹣4x﹣5）﹣（﹣x2+2x+3）=2x2﹣6x﹣8=2（x﹣）2﹣，

顯然當(dāng)x＞時(shí)，MN隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=5時(shí)，MN有最大值，MN=2（5﹣）2﹣=12.

綜上可知：在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長度的最大值為12.5．