Question

如圖，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15．點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線BC運動．設(shè)點P運動的時間為t秒，求當(dāng)t為何值時，△ABP為等腰三角形？

Answer 1

考點：等腰三角形的判定

專題：動點型

分析：作AD⊥BC于D，如圖1，設(shè)AD=y，BD=x，則CD=BC-BD=14-x，利用勾股定理得到x²+y²=13²，（14-x）²+y²=15²，消去y可解得x=5，即BD=5，然后分類討論：當(dāng)BP=BA時，△ABP為等腰三角形，即2t=13，解得t=

13

2

（s）；當(dāng)AP=AB時，△ABP為等腰三角形，如圖2，則PB=2BD，即2t=2×5，解得t=5（s）；作AB的中垂線交AB于Q，交BC于P，則PA=PB，△ABP為等腰三角形，如圖3，證明Rt△BPQ∽Rt△BAD，利用相似比得到

2t

13

=

13 2

5

，解得t=

169

20

（s）．

解答：解：作AD⊥BC于D，如圖1，設(shè)AD=y，BD=x，則CD=BC-BD=14-x，

在Rt△ABD中，x²+y²=13²①，
在Rt△ACD中，（14-x）²+y²=15²②，
②-①得14²-28x=28×2，解得x=5，
∴BD=5，
當(dāng)BP=BA時，△ABP為等腰三角形，即2t=13，解得t=

13

2

（s）；
當(dāng)AP=AB時，△ABP為等腰三角形，則AD垂值平分BP，如圖2，

∴PB=2BD，即2t=2×5，
∴t=5（s）；
作AB的中垂線交AB于Q，交BC于P，則PA=PB，△ABP為等腰三角形，
如圖3，

則BQ=

1

2

AB=

13

2

，BP=2t，
∵∠PBQ=∠ABD，
∴Rt△BPQ∽Rt△BAD，
∴

PB

AB

=

BQ

BD

，即

2t

13

=

13 2

5

，
∴t=

169

20

（s），
綜上所述，當(dāng)t為

13

2

s或5s或

169

20

s時，△ABP為等腰三角形．

點評：本題考查了等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．也考查了勾股定理和分類討論的思想．