Question

（2004•徐州）已知拋物線y=（1-m）x²+4x-3開口向下，與x軸交于A（x₁，0）和B（x₂，0）兩點，其中x₁＜x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）若x₁²+x₂²=10，求拋物線的解析式，并在給出的直角坐標系中畫出這條拋物線；
（3）設這條拋物線的頂點為C，延長CA交y軸于點D．在y軸上是否存在點P，使以P、B、O為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可從兩點入手求解．由于拋物線開口向下，因此二次項系數(shù)小于0，拋物線與x軸有兩個交點，因此△＞0．聯(lián)立兩式即可求出m的取值范圍；
（2）本題要根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解；
（3）先根據(jù)拋物線的解析式求出A、B、C的坐標，然后根據(jù)直線AC的解析式求出D點的坐標，不難得出三角形ABC是個等腰直角三角形，因此∠BCD=90°，因此如果兩三角形相似，夾直角的兩條直角邊應對應成比例，分不同的對應成比例情況進行求解即可．
解答：解：（1）
由①式得：m＞1；
由②式得：m＜
∴1＜m＜；

（2）依題意有：x₁+x₂=，x₁x₂=，又x₁²+x₂²=10
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10
∴-=10
化簡得：[5（m-1）+8][（m-1）-1]=0
∴m=-，m=2
由（1）值：m=-應舍去，
∴m=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x-3；

（3）將拋物線配方得：y=-（x-2）²+1，
∴拋物線頂點坐標為（2，1），
與x軸交點為（1，0）（3，0），
與y軸交點為（0，-3），
可畫出拋物線的示意圖（如圖）
∵A（1，0），B（3，0），C（2，1）
∴△ABC為等腰直角三角形，即∠BCD=90°
又∵直線AC與y軸交于點D
∴D（0，-1），
易得：BC=，CD=2
依題意，設點P（0，y）
若△POB∽△BCD
則或
∴或
∴|y|=或|y|=6
∴y=±或y=±6．
∴當P點坐標為（0，）（0，-）（0，6）（0，-6）時，可使△POB∽△BCD．
點評：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定等知識點．