Question

如圖甲，在平面直角坐標系中，A、B的坐標分別為（4，0）、（0，3），拋物線經過點B，且對稱軸是直線．
（1）求拋物線對應的函數解析式；
（2）將圖甲中的△ABO沿x軸向左平移得到△DCE（如圖乙），當四邊形ABCD是菱形時，請說明點C和點D都在該拋物線上．
（3）在（2）中，若點M是拋物線上的一個動點（點M不與點C、D重合），通過M作MN∥y軸交直線CD于N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為l，求l與t之間的函數解析式．并求當為何值時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點B的坐標代入拋物線解析式、聯(lián)合對稱軸x=-列出關于系數b、c的方程組，通過解方程組來求它們的值；
（2）由平移的性質易求點C、D的坐標，將它們的坐標分別代入拋物線解析式進行驗證即可；
（3）根據點C、D的坐標易求直線CD的解析式為．根據已知條件知點M、N的橫坐標都是t，則l的值就是點M、N的縱坐標之差．由平行四邊形的對邊相等的性質推知MN=CE=3，利用所求的l與t間的函數式可以求得相應的t的值．
解答：解：（1）由已知，得，
解得．
∴二次函數的解析式為；

（2）在Rt△ABO中，
∵OA=4，OB=3，
∴AB=5．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AD=AB=5．
∵△ABO沿x軸向左平移得到△DCE，
∴CE=OB=3．
∴C（-5，3）、D（-1，0）．
當x=-5時，，
當x=-1時，，
∴C、D在該拋物線上；

（3）設直線CD的解析式為y=kx+b，則
，
解得
∴．
∵MN∥y軸，
∴M、N的橫坐標均為t．
當M在直線CD的上方時，有；
當M在直線CD的下方時，有．
∴l(xiāng)與t之間的函數解析式為或．
由于MN∥CE，要使以點M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，只需MN=CE=3，
當時，解得；
當時，解得t₃=t₄=-3．
即當或或-3時，以點M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．
點評：本題綜合考查了待定系數法求一次函數、二次函數解析式，平行四邊形的性質．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．