Question

12．如圖，直線1₁：y₁=k₁x+b與反比例y=$\frac{m}{x}$相交于A（-1，6）和B（-3，a），直線1₂：y₂=k₂x與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$相交于A、C兩點(diǎn)，連接OB．
（1）求反比例函數(shù)的解析式和B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象，直按寫出當(dāng)k₁x+b＞$\frac{m}{x}$時(shí)x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積；
（4）點(diǎn)P是反比例函數(shù)第二象限上一點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于-3，小于-1，連接PO并延長(zhǎng)，交反比例函致圖象于點(diǎn)Q．
①試判斷四邊形APCQ的形狀；
②當(dāng)四邊形APCQ的面積為10時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)解析式，再由點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)正、反比例的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出不等式的解集；
（3）令直線1₁：y₁=k₁x+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D，利用分割圖形求面積法結(jié)合三角形的面積公式即可求出△AOB的面積；
（4）①根據(jù)正、反比例的對(duì)稱性即可得出P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再結(jié)合OA=OC即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；
②連接AP并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，-$\frac{6}{n}$）（-3＜n＜-1），利用待定系數(shù)法即可求出直線AP的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用分割圖形求面積法結(jié)合平行四邊形APCQ的面積為10，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程求出n值，將其代入點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，6）在反比例y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴6=$\frac{m}{-1}$，解得：m=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$．
當(dāng)x=-3時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，2）．
∵直線1₂：y₂=k₂x與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$相交于A、C兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（-1，6），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-6）．
（2）觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：當(dāng)-3＜x＜-1或x＞0時(shí)，直線1₁：y₁=k₁x+b在反比例y=$\frac{m}{x}$的上方，
∴當(dāng)k₁x+b＞$\frac{m}{x}$時(shí)x的取值范圍為-3＜x＜-1或x＞0．
（3）令直線1₁：y₁=k₁x+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D，如圖1所示．
將A（-1，6）、B（-3，2）代入y₁=k₁x+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{6=-{k}_{1}+b}\\{2=-3{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線1₁：y₁=2x+8．
當(dāng)y₁=0時(shí)，x=-4，
∴D（-4，0），
∴OD=4．
∴S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD=$\frac{1}{2}$•OD•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×4×（6-2）=8．
（4）①∵連接PO并延長(zhǎng)，交反比例函致圖象于點(diǎn)Q，
∴點(diǎn)P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OP=OQ．
又∵OA=OC，
∴四邊形APCQ為平行四邊形．
②連接AP并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，如圖2所示．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，-$\frac{6}{n}$）（-3＜n＜-1），直線AP的解析式為y=kx+c，
將點(diǎn)A（-1，6）、P（n，-$\frac{6}{n}$）代入y=kx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{6=-k+c}\\{-\frac{6}{n}=nk+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{6}{n}}\\{c=\frac{6n-6}{n}}\end{array}\right.$，
∴直線AP的解析式為y=-$\frac{6}{n}$x+$\frac{6n-6}{n}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=n-1，
∴E（n-1，0）．
∴S_{四邊形APCQ}=4S_△AOP=4×$\frac{1}{2}$•OE•（y_A-y_P）=10，
整理得：6n²+5n-6=0，
解得：n=-$\frac{3}{2}$或n=$\frac{2}{3}$（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，4）．
∴當(dāng)四邊形APCQ的面積為10時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出反比例解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的位置關(guān)系解不等式；（3）求出點(diǎn)D坐標(biāo)；（4）①根據(jù)四邊形對(duì)角線互相平分得四邊形為平行四邊形；②利用面積找出關(guān)于n的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用點(diǎn)到直線的距離能夠降低難度．