Question

如圖，拋物線y=x²-2x+c的頂點(diǎn)A在直線y=x-5上，直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M和N，
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C和D（C在D的左邊），試說明△ABD為直角三角形；
（3）在直線y=x-5上是否存在點(diǎn)P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式先求得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后代入直線的解析式即可求得縱坐標(biāo)，把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得c，得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式求得交點(diǎn)C（-1，0），D（3，0），B（0，-3），然后根據(jù)A的坐標(biāo)求得AB²、BD²、AD²的值，從而得出AB²+BD²=AD²，即可判定△ABD為直角三角形；
（3）設(shè)P的坐標(biāo)為（m，m-5），分三種情況討論求得．

解答：解：（1）由拋物線y=x²-2x+c可知，對(duì)稱軸x=-

b

2a

=1，
∵拋物線y=x²-2x+c的頂點(diǎn)A在直線y=x-5上，
∴y=1-5=-4，
∴頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，-4），
代入y=x²-2x+c得，c=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）∵拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
∴C（-1，0），D（3，0），B（0，-3），
∵頂點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，-4），
∴AB²=（1-0）²+（-4+3）²=2，BD²=（3-0）²+（-3-0）²=18，AD²=（1-3²）+（（-4-0）²=20，
∴AB²+BD²=AD²，
∴△ABD為直角三角形；
（3）存在；
由直線y=x-5可知，N（0，-5），
∵B（0，-3），
∴BN=2，
設(shè)P的坐標(biāo)為（m，m-5）
當(dāng)PN=BN時(shí)，則m²+（m-5+5）²=2²，解得，m=±

2

，
∴P的坐標(biāo)為（

2

，

2

-5）或（-

2

，-

2

-5）；
當(dāng)PN=PB時(shí)，則m²+（m-5+5）²=m²+（m-5+3）²，解得m=1，
∴P的坐標(biāo)為（1，-4）
當(dāng)BN=PB時(shí)，則m²+（m-5+3）²=2²，解得，m=0，或m=2
∴P（2，-3）；
綜上，使得△PBN是等腰三角形的P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2

，

2

-5）或（-

2

，-

2

-5）或（1，-4）或（2，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了拋物線的對(duì)稱軸，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法以及直角三角形的判定和等腰三角形的判定，求得交點(diǎn)坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．