Question

（1）數(shù)學小組的單思稿同學認為形如的拋物線y=ax²+bx+c，系數(shù)a、b、c一旦確定，拋物線的形狀、大小、位置就不會變化，所以稱數(shù)a、b、c為拋物線y=ax²+bx+c的特征數(shù)，記作{a，b，c}；請求出與y軸交于點C（0，-3）的拋物線y=x²-2x+k在單同學眼中的特征數(shù)；
（2）同數(shù)學小組的尤恪星同學喜歡將拋物線設(shè)成y=a（x+m）²+k的頂點式，因此堅持稱a、m、k為拋物線的特征數(shù)，記作{a，m，k}；請求出上述拋物線在尤同學眼中的特征數(shù)；
（3）同一個問題在上述兩位同學眼中的特征數(shù)各不相同，為了讓兩人的研究保持一致，同組的董和諧將上述拋物線表述成：特征數(shù)為{u，v，w}的拋物線沿平行于某軸方向平移某單位后的圖象，即此時的特征數(shù){u，v，w}無論按單思稿同學還是按尤恪星同學的理解做出的結(jié)果是一樣的，請你根據(jù)數(shù)學推理將董和諧的表述完整地寫出來；
（4）在直角坐標系xOy中，上述（1）中的拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊），請直接寫出△ABC的重心坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）把C坐標代入拋物線解析式求出k的值，確定出拋物線解析式，即可得出拋物線在單同學眼中的特征數(shù)；
（2）把拋物線解析式化為頂點形式，確定出拋物線在尤同學眼中的特征數(shù)即可；
（3）把拋物線解析式化為頂點形式，要使單思稿同學和尤恪星同學的理解做出的結(jié)果是一樣的，必須滿足

b= b 2a c=c- b2 4a

，得到b=0，即可得出董和諧的表述；
（4）找出AB的中點，求出AB邊中線方程，同理求出AC邊中線方程，聯(lián)立求出重心坐標即可．

解答：解：（1）把C（0，-3）代入拋物線解析式得：k=-3，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
則該拋物線在單同學眼中的特征數(shù)為{1，-2，-3}；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴上述拋物線在尤同學眼中的特征數(shù)為{1，-1，-4}；
（3）y=ax²+bx+c=a（x+

b

2a

）²+c-

b2

4a

，
要使單思稿同學和尤恪星同學的理解做出的結(jié)果是一樣的，
必須滿足

b= b 2a c=c- b2 4a

，即b=0，
∵y=（x-1）²-4可以看做y=x²-4沿平行于x軸方向向右平移1個單位而成，
∴董和諧的表述為：特征數(shù){1，0，-4}的拋物線沿平行于x軸方向向右平移1個單位的圖象；
（4）對于拋物線解析式y(tǒng)=x²-2x-3，
令y=0，得到x²-2x-3=0，即（x-3）（x+1）=0，
解得：x=3或x=-1，即A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
∴線段AB中點坐標為（1，0），AB邊的中線方程為y=

-3-0

0-1

（x-1）=3（x-1）=3x-3；
∵AC邊中點坐標為（-

1

2

，-

3

2

），AC邊的中線方程為y=

- 3 2 -0

- 1 2 -3

（x-3）=

3

7

（x-3）=

3

7

x-

9

7

，
聯(lián)立得：

y=3x-3 y= 3 7 x- 9 7

，
解得：

x= 2 3 y=-1

，
則△ABC的重心坐標為（

2

3

，-1）．

點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段中點坐標公式，直線的點斜式方程，以及新定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．