Question

．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角線APQ。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q得位置為B。
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，∵A(0,2)，△AOB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=，OC=AC=1，
即B（）
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，不失一般性，
∵∠PAQ==∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB
∴△APO≌△AQB總成立，
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立，
∴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值90°。
（3）由（2）可知，點(diǎn)Q總在過點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，
可見AO與BQ不平行。
①      當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，
此時(shí)，若AB∥OQ，四邊形AOQB即是梯形，
當(dāng)AB∥OQ時(shí)，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。
又OB=OA=2，可求得BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（）。
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在嗲牛B的上方，
此時(shí)，若AQ∥OB，四邊形AOQB即是梯形，
當(dāng)AQ∥OB時(shí)，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。
又AB= 2，可求得BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（）。
綜上，P的坐標(biāo)為（）或（）。

略