Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸于點C，點D為對稱軸l上的一個動點．
（1）求當(dāng)AD+CD最小時，點D的坐標(biāo)；
（2）以點A為圓心，以AD為半徑作⊙A
①證明：當(dāng)AD+CD最小時，直線BD與⊙A相切．
②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標(biāo)

 

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Answer 1

分析：（1）由拋物線解析式得到其對稱軸，A，B兩點坐標(biāo)，根據(jù)兩點之間線段最短求得；
（2）①由（1）所得證直線BD與⊙A相切即證AD⊥BD，根據(jù)勾股定理求得BD²+AD²=AB²；
②由①所證可知點D的另一個坐標(biāo)與（1）中點D的坐標(biāo)關(guān)于AB即x軸對稱．

解答：解：（1）因為點A關(guān)于l的對稱點是點B，所以連接BC，交l于點D，即為所求點．
由拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，
則對稱軸為：x=1．
當(dāng)-x²+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1．
∴點A（-1，0），點B（3，0），
拋物線y=-x²+2x+3當(dāng)x=0時，y=3，
∴點C（0，3）．
設(shè)直線BC為：y=kx+b，
代入點B，C得：k=-1，b=3，即y=-x+3，
代入對稱軸x=1，則y=2，
∴點D（1，2）．

（2）①由題意如圖，
∵A，B關(guān)于l對稱，
∴AD=BD，BE=2，AB=4，DE=2，
則BD=AD=

DE2+BE2

=2

2

，
∴BD²+AD²=16，
∵AB²=16，
∴BD²+AD²=AB²，
由勾股定理的逆定理知，∠ADB=90°，即AD⊥BD．
故當(dāng)AD+CD最小時，直線BD與⊙A相切．
②由①所得點D的另一個坐標(biāo)（1，-2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，涉及到了根據(jù)兩點之間線段最短，求動點坐標(biāo)．以及利用勾股定理對直角三角形的判定．