【題目】如圖,在△ABC中,以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)G,且D是BC中點(diǎn),DE⊥AB,交AB于點(diǎn)E,交AC的延長線交于點(diǎn)F.
(1)求證:直線EF是⊙O的切線.
(2)若CF=3,cos∠CAB=,求⊙O的半徑和線段BD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)⊙O的半徑為,BD的長為.
【解析】
(1)根據(jù)三角形的中位線定理證明OD∥AB,可得OD⊥EF,所以直線EF是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O的半徑為r,根據(jù)cos∠FOD=cos∠CAB=,求得r的值,根據(jù)平行線分線段成比例定理得:,可得AE的長,并計(jì)算BE的長,證明△BDE∽△BAD,則,代入可得BD的長.
(1)證明:連接OD.
∵OA=OC,DB=DC,∴OD∥AB.
∵DE⊥AB,∴OD⊥EF,∴直線EF是⊙O的切線.
(2)如圖,連接AD,設(shè)⊙O的半徑為r.
在Rt△ODF中,∵cos∠FOD=cos∠CAB====,∴r=,∴AB=2DO=9.
∵OD∥AB,∴,即=,AE=,∴BE=AB﹣AE=9﹣=.
∵AC為⊙O的直徑,∴∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°.
∵DE⊥AB,∴∠B+∠BDE=90°,∴∠ADE=∠B,∴△BDE∽△BAD,∴,∴BD2=AB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市在創(chuàng)建全國文明城市過程中,決定購買A,B兩種樹苗對某路段道路進(jìn)行綠化改造,已知購買A種樹苗8棵,B種樹苗3棵,需要950元;若購買A種樹苗5棵,B種樹苗6棵,則需要800元.
(1)求購買A,B兩種樹苗每棵各需多少元?
(2)考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn),購進(jìn)A種樹苗不能少于52棵,且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過7650元,若購進(jìn)這兩種樹苗共100棵,則有哪幾種購買方案?
(3)某包工隊(duì)承包種植任務(wù),若種好一棵A種樹苗可獲工錢30元,種好一棵B種樹苗可獲工錢20元,在第(2)問的各種購買方案中,種好這100棵樹苗,哪一種購買方案所付的種植工錢最少?最少工錢是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與,軸分別交于,兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱.動(dòng)點(diǎn),分別在線段,上(點(diǎn)與點(diǎn),不重合),且滿足.
(1)求點(diǎn),的坐標(biāo)及線段的長度;
(2)當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí),,說明理由;
(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù),我們規(guī)定:滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為[a,b].對于一個(gè)函數(shù),如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足:當(dāng)m≤x≤n時(shí),有m≤y≤n,我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m,n]上的“閉函數(shù)”.如函數(shù)y=﹣x+4,當(dāng)x=1時(shí),y=3;當(dāng)x=3時(shí),y=1,即當(dāng)1≤x≤3時(shí),恒有1≤y≤3,所以說函數(shù)y=﹣x+4是閉區(qū)間[1,3]上的“閉函數(shù)”,同理函數(shù)y=x也是閉區(qū)間[1,3]上的“閉函數(shù)”.
(1)反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1,2018]上的“閉函數(shù)”嗎?請判斷并說明理由;
(2)如果已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+k是閉區(qū)間[2,t]上的“閉函數(shù)”,求k和t的值;
(3)如果(2)所述的二次函數(shù)的圖象交y軸于C點(diǎn),A為此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),B為直線x=1上的一點(diǎn),當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí),寫出點(diǎn)B的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在學(xué)校開展的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,小明和小剛制作了一個(gè)正三樓錐(質(zhì)量均勻,四個(gè)面完全相同),并在各個(gè)面上分別標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4,游戲規(guī)則如下每人投擲三棱錐兩次,并記錄底面的數(shù)字,如果兩次所擲數(shù)字的和為單數(shù),那么算小明贏,如果兩歡所擲數(shù)字的和為偶數(shù),那么算小明贏;
(1)請用列表或者面樹狀圍的方法表示上述游戲中的所有可能結(jié)果.
(2)請分別隸出小明和小剛能贏的概率,并判新游戲的公平性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們定義:如圖1,在△ABC看,把AB點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB',把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC',連接B'C'.當(dāng)α+β=180°時(shí),我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.
特例感知:
(1)在圖2,圖3中,△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”.
①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD= BC;
②如圖3,當(dāng)∠BAC=90°,BC=8時(shí),則AD長為 .
猜想論證:
(2)在圖1中,當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí),猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B是x軸上的動(dòng)點(diǎn),若AB=2,則△AOB面積的最大值為( 。
A. 2 B. +1 C. -1 D. 2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:
①,同號(hào);②當(dāng)和時(shí),函數(shù)值相等;③;④當(dāng)時(shí),的值只能取;⑤當(dāng)時(shí),.其中正確的有( )
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是∠BAC的平分線,若∠B=65°,∠C=45°,則∠DAE的度數(shù)為______.
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