Question

如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB于點F，OF=3，CD=8，M是OC的中點，AM的延長線交⊙O于點E，DE與BC交于點N，（1）求AB的長；（2）求證：BN=CN.

 

Answer 1

【答案】

（1）10 （2）證明CN=，所以CN=BN

【解析】

試題分析：（1）AB是⊙O直徑，AB⊥CD，CD=8

∴ CF=4                             

在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理，得

OC²=OF²+CF²                                  

=3²+4²

=25

∴OC=5                                      

∴AB=2OC=2×5=10                    

（2）連結(jié)AC，BD

∵弦CD垂直于直徑AB，

∴BC=BD．

∴∠BCD=∠BDC   

∵OA=OC，                                                          

∴∠OCA=∠OAC．                                                                    

∵∠BDC=∠OAC，                                                                    

∴∠BCD=∠OCA．                                                                        

∴△BCD∽△OCA                                                                          

∴                                                                       

在△CDN和△CAM中，                                                                    

∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，                                                       

∴△CDN∽△CAM                                                                          

∴

∴  

∴

即BN=CN．  

考點：勾股定理，相似三角形

點評：本題考查勾股定理，相似三角形，解答本題的關鍵是掌握勾股定理的內(nèi)容，熟悉相似三角形的判定方法