Question

【題目】如圖，⊙O的直徑為AB，點(diǎn)C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD．

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；
（2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O直徑，C在⊙O上，

∴∠ACB=90°，

又∵BC=3，AB=5，

∴由勾股定理得AC=4

（2）解：證明：連接OC

∵AC是∠DAB的角平分線，

∴∠DAC=∠BAC，

又∵AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠DCA=∠CBA，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠OAC+∠OBC=90°，

∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，

∴DC是⊙O的切線．

【解析】（1）首先依據(jù)圓周角定理可得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)即可；
（2）連接OC，首先利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，可證得∠OCA=∠CAD，依據(jù)平行線的判定定理可得到OC∥AD，接下來，由AD⊥CD，可證明OC⊥CD，從而可證明CD是⊙O的切線.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．