Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于第一、三象限內(nèi)的、兩點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，，，點的縱坐標(biāo)為4．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)表達式；

（2）連接，求四邊形的面積；

（3）在（1）的條件下，根據(jù)圖像直接寫出反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值時，自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為；一次函數(shù)解析式為；（2）4；

（3）或．

【解析】

（1）根據(jù)BM⊥軸，可知△BMO為等腰直角三角形，可求得點B的坐標(biāo)，將其代入反比例函數(shù)，求出，即可知反比例函數(shù)解析式，已知點A的縱坐標(biāo)，代入求得的反比例函數(shù)解析式，可求得點A的橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法，即可求得一次函數(shù)解析式；

（2）一次函數(shù)與y軸交于點C，可求得C的坐標(biāo)，易證四邊形MBOC是平行四邊形，OM即為高，四邊形的面積即可求解；

（3）要使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值，反比例函數(shù)圖像一定在一次函數(shù)圖像的下方，觀察圖像，即可求解自變量的取值范圍．

解：（1）∵BM⊥軸，且BM=OM，

∴△BMO為等腰直角三角形，

∵OB=，

∴BM=OM=2，

∴點B的坐標(biāo)為（-2，-2），

∵點B在雙曲線上，代入 ，可求得，

故反比例函數(shù)的解析式為，

∵點A 也是反比例函數(shù)上的點，且A點的縱坐標(biāo)為4，代入，

求得A點坐標(biāo)為（1，4），

∵點A、B也是直線上的點，

∴ ，解得 ．

故一次函數(shù)的解析式為．

（2）∵ 一次函數(shù)與軸交于點C， 將代入解析式，可求得C點的坐標(biāo)為（0，2）

∴ BM=OC，又∵BM//OC，

∴四邊形MBOC是平行四邊形，OM即為平行四邊形MBOC的高，

∴四邊形MBOC的面積，

故四邊形MBOC的面積為4．

（3）根據(jù)圖像觀察可知，要使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值時，反比例函數(shù)圖像一定在一次函數(shù)圖像的下方，包括A（1，4）的右側(cè)，以及B（-2，-2）到軸這兩部分，從而可知，自變量的取值范圍是：或．

故答案為：或．