Question

（1）如圖1，已知正方形ABCD，E是AD上一點，F(xiàn)是BC上一點，G是AB上一點，H是CD上一點，線段EF、GH交于點O，∠EOH=∠C，求證：EF=GH；
（2）如圖2，若將“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關系并加以證明；
（3）如圖3，若將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關系并加以證明；

附加題：根據(jù)前面的探究，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣命題，畫出圖形，并證明，若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過構建全等三角形來求解．分別過G、F作GN∥AD，F(xiàn)M∥CD，那么FM=GN，∠EMF=∠GNH=90°，而∠OGN和∠OFM都是等角的余角，因此三角形EFM和HGN全等，那么可通過全等三角形EFM和HGN來得出GH=EF．
（2）（3）（4）方法同（1）都是分別過G、F作AD、CD的垂線，根據(jù)∠GOF=∠A，來得出三角形HGN和EFM中的∠HGN和∠EFM相等，然后再得出全等或相似．

解答：
證明：（1）如圖1，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，
則FM=GN=AD=BC，且GN⊥FM，設它們的垂足為Q，設EF、GN交于R
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，F(xiàn)M=GN，
∴△GNH≌△FME．
∴EF=GH．

（2）如圖2，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，設EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四邊形MQND中，∠QMD=∠QND=90°
∴∠ADC+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠A=∠C，AB=BC，
∴FM=AB•sinA=BC•sinC=GN．
∵∠FEM=∠GNH=90°，
∴△GNH≌△FME．
∴EF=GH．

（3）如圖3，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，設EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90-∠GRO=90-∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴

GH

EF

=

GN

FM

=m．

附加題：
已知平行四邊形ABCD，E是AD上一點，F(xiàn)是BC上一點，G是AB上一點，H是CD上一點，線段EF、GH交于點O，∠EOH=∠C，AD=mAB，則GH=mEF．
證明：如圖，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N，設EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四邊形MQND中，∠QMD=∠QND=90°，
∴∠MDN+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠FME=∠GNH=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴

GH

EF

=

GN

FM

=m．
即GH=mEF．

點評：本題主要考查了全等三角形和相似三角形的判定，構建出相關的三角形是解題的關鍵．