Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B．點Q在直線AB上，點P在x軸上，且∠OQP=90°．
（1）當(dāng)點P與點A重合時，點Q的坐標(biāo)為（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）；
（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，則a的取值范圍是a≥3或a≤-12．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點P與點A重合時，OQ⊥AB，求出直線OQ的解析式，解方程組即可解決問題．
（2）分兩種情形討論，當(dāng)點Q在y軸右側(cè)時，求出OP的最小值，當(dāng)點Q在y軸左側(cè)時，求出OP的最小值為即可．

解答 解：（1）當(dāng)點P與點A重合時，OQ⊥AB，
直線OQ的解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{36}{25}}\\{y=\frac{48}{25}}\end{array}\right.$，
∴點Q坐標(biāo)為（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）．
故答案為（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）．

（2）如圖，

當(dāng)⊙F與AB相切時，設(shè)⊙F的半徑為R，
在Rt△AQF中，∵∠AQF=90°，AF=4-R，AQ=5-3=2，
∴R²+2²=（4-R）²，
∴R=$\frac{3}{2}$，OP=3，
當(dāng)⊙E與AB相切時，設(shè)⊙E半徑為x，
在Rt△AQ₁E中，∵∠AQ₁E=90°，AE=x+4，AQ₁=5+3=8，
∴x²+8²=（x+4）²，
∴x=6，OP=12，
∵當(dāng)點Q在y軸右側(cè)時，OP的最小值為3，
當(dāng)點Q在y軸左側(cè)時，OP的最小值為12，
∴點P的橫坐標(biāo)a的范圍為a≥3或a≤-12．
故答案為a≥3或a≤-12．

點評 本題考查一次函數(shù)、圓的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，理解⊙F或⊙E與AB相切時OP最小是解題的關(guān)鍵，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．