Question

（2006•梧州）如圖（1），四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：AB•DE=CD•BC；
（2）如果四邊形ABCD仍是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)C在劣弧上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，切線CE變?yōu)楦罹�EFC，請(qǐng)問(wèn)要使（1）的結(jié)論成立還需要具備什么條件？請(qǐng)你在圖（2）上畫出示意圖，標(biāo)明有關(guān)字母，不要求進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求證，連接AC證三角形ABC和CDE相似，CE是圓的切線，根據(jù)弦切角定理可得出∠DCE=∠CAD，根據(jù)C是弧BD的中點(diǎn)，得出∠BAC=∠DAC，那么∠DCE=∠BAC，根據(jù)ABCD內(nèi)接于圓O，那么外角∠CDE=∠B，那么就構(gòu)成了兩三角形相似的條件，得出相似后，即可得出所要求證的比例關(guān)系；
（2）要使（1）的條件成立，就必須保證△ABC和△CDE相似，因此就要保證∠DCF=∠BAC，那么需要滿足的條件就應(yīng)該是（也可以寫成角相等，線段相等或平行等樣式）．
解答：（1）證明：連接AC．
∵C是的中點(diǎn)，
∴，∠BAC=∠DAC
∵CE切⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)C在⊙O上
∴∠DCE=∠DAC=∠BAC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠EDC=∠B，
∴△EDC∽△CBA，
∴，
∴AB•DE=CD•BC；

（2）解：如圖，條件為：（或DF=BC或∠DAF=∠BAC
或∠DCF=∠BAC或FC∥BD等）
如圖，（圖中虛線為可能畫的線）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的內(nèi)接四邊形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)來(lái)求解是解題的關(guān)鍵．