Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠B=60°，DE⊥AC于點E，已知該梯形的高為．
（1）求證：∠ACD=30°；
（2）求DE的長度．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AB=CD=AD，
∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠B=60°，
∴∠DCA=∠BCA，
∴∠ACD=30°；

（2）解：作DG⊥BC于G點，
∵∠B=60°，梯形的高為，
∴DC=DG÷sin∠DCG=÷=2，
∴DE=DC×sin∠ACD=2×=1．
∴DE的長為1．
分析：（1）利用梯形的兩底平行和等腰三角形的性質(zhì)可以得到AC平分∠DCB，從而得證；
（2）利用30°的角所對的直角邊是斜邊的一半和DC的長即可求得DE的長．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，解題的關鍵是正確的利用等腰梯形的性質(zhì)．