Question

如圖，直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線與AB交于點(diǎn)C，與過(guò)點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)D．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．并求出中S的最大值．
（3）當(dāng)t＞0時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)（5，3）在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，得
解得：
∴C（3，）；

（2）根據(jù)題意得：AE=t，OE=OA-EA=8-t
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（8-t），點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-（8-t）+6=
∴PQ=（8-t）+6=
當(dāng)MN在AD上時(shí)，10-2t=t，
∴t=；當(dāng)0＜t≤時(shí)，
S=AE×PQ=t（10-2t），
即S=-2t²+10t
當(dāng)≤t＜5時(shí)，
S=PQ²=（10-2t）²，
即S=4t²-40t+100
當(dāng)0＜t≤時(shí)，
S=-2（t-）²+
∴當(dāng)t=時(shí)，
S_最大值=
當(dāng)≤t＜5時(shí)，S=4（t-5）²，
∵t＜5時(shí)，S隨t的增大而減小，
∴t=時(shí)，S_最大值=
∵＞，
∴S的最大值為．

（3）當(dāng)t=5時(shí)，PQ=0，P，Q，C三點(diǎn)重合；
當(dāng)t＜5時(shí)，知OE=4時(shí)是臨界條件，即8-t=4
即t=4
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為5＞3，
點(diǎn)（5，3）在正方形邊界PQ上，E繼續(xù)往左移動(dòng)，則點(diǎn)（5，3）進(jìn)入正方形內(nèi)部，但點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)再減少，當(dāng)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3時(shí)，OE=4
∴8-t=4
即t=4，
此時(shí)OE+PN=4+PQ=4+（10-2t）=6＞3滿(mǎn)足條件，
∴3＜t＜4，
當(dāng)t＞5時(shí)，由圖和條件知，則有E（t-8，0），PQ=2t-10要滿(mǎn)足點(diǎn)（5，3）在正方形的內(nèi)部，
則臨界條件N點(diǎn)橫坐標(biāo)為4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=7，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：-×2+7=．滿(mǎn)足條件，
∴t＞7．
綜上所述：3＜t＜4或t＞7時(shí)，點(diǎn)（5，3）都在正方形的內(nèi)部．
分析：（1）首先根據(jù)題意求得A，B，C，D的坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性質(zhì)，即可求得PQ的值，則可求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）配方，即可求得二次函數(shù)的最大值，即是S的最大值；
（3）當(dāng)PQ過(guò)點(diǎn)（5，3）時(shí)，t最��；當(dāng)N與（5，3）重合時(shí)，t最大，根據(jù)題意求解即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．