Question

（2010•北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+x+m²-3m+2與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)B（2，n）在這條拋物線上．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在線段OA上，從O點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，過P點(diǎn)作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E．延長PE到點(diǎn)D．使得ED=PE．以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，C點(diǎn)、D點(diǎn)也隨之運(yùn)動）j當(dāng)?shù)妊�直角三角形PCD的頂點(diǎn)C落在此拋物線上時(shí)，求OP的長；k若P點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)作勻速運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段OA上另一點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)作勻速運(yùn)動，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動，P點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動）．過Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)F．延長QF到點(diǎn)M，使得FM=QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，M點(diǎn)，N點(diǎn)也隨之運(yùn)動）．若P點(diǎn)運(yùn)動到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=-x²+x+m²-3m+2與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)O，令x=0，y=0，解得m的值，點(diǎn)B（2，n）在這條拋物線上，把該點(diǎn)代入拋物線方程，解得n．
（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x，求得直線OB的解析式為y=2x，由A點(diǎn)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），根據(jù)題意作等腰直角三角形PCD，如圖1．可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出OP的值，依題意作等腰直角三角形QMN，設(shè)直線AB的解析式為y=k₂x+b，求出直線AB的解析式，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況，解出各種情況下的時(shí)間t．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+x+m²-3m+2經(jīng)過原點(diǎn)，
∴m²-3m+2=0，
解得m₁=1，m₂=2，
由題意知m≠1，
∴m=2，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x，
∵點(diǎn)B（2，n）在拋物線y=-x²+x上，
∴n=4，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4）．

（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x，
求得直線OB的解析式為y=2x，
∵A點(diǎn)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），
則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，2a），
根據(jù)題意作等腰直角三角形PCD，
如圖1，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3a，2a），
由C點(diǎn)在拋物線上，
得：2a=-´（3a）²+´3a，
即a²-a=0，
解得a₁=，a₂=0（舍去），
∴OP=．
依題意作等腰直角三角形QMN，設(shè)直線AB的解析式為y=k₂x+b，
由點(diǎn)A（10，0），點(diǎn)B（2，4），求得直線AB的解析式為y=-x+5，
當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況：
第一種情況：CD與NQ在同一條直線上．
如圖2所示．可證△DPQ為等腰直角三角形．此時(shí)OP、DP、AQ的長可依次表示為t、4t、2t個(gè)單位．
∴PQ=DP=4t，
∴t+4t+2t=10，
∴t=．
第二種情況：PC與MN在同一條直線上．如圖3所示．可證△PQM為等腰直角三
角形．此時(shí)OP、AQ的長可依次表示為t、2t個(gè)單位．
∴OQ=10-2t，
∵F點(diǎn)在直線AB上，
∴FQ=t，
∴MQ=2t，
∴PQ=MQ=CQ=2t，
∴t+2t+2t=10，
∴t=2．
第三種情況：點(diǎn)P、Q重合時(shí)，PD、QM在同一條直線上，如圖4所示．此時(shí)OP、
AQ的長可依次表示為t、2t個(gè)單位．
∴t+2t=10，
∴t=．
綜上，符合題意的t值分別為，2，
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題，要會求拋物線的解析式，討論分類情況，此題比較繁瑣，做題多加用心．