Question

【題目】如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）的拋物線y=x2﹣bx﹣3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D點(diǎn)．

（1）求b的值以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求△BCD的面積；

（3）連接BC、BD、CD，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

（4）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)且以AC為直角邊的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）b=2 ；D（1，-4）．（2）3；（3）存在，（0，0）（9，0）．（4）（0，-3）、（，-）、（-1，0）、（，）；

【解析】

（1）把點(diǎn)A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣3中，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后由S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM-S△OBC，即可求得答案；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分兩種情況，得出AP的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

（4）利用兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理求得答案；

解：（1）把A（-1，0）代入y=x2-bx-3，得1+b-3=0，
解得b=2．

∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴D（1，-4）．

（2）

∴C（0，-3），
點(diǎn)B與A關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴點(diǎn)B（3，0），
設(shè)直線x=1交x軸于點(diǎn)M，
∴OM=1，BM=3-1=2，DM=4，

∴S△BCD=S△BDM+S梯形OCDM-S△OBC=×2×4+×（3+4）×1-×3×3=3；

（3）如圖，當(dāng)y=0時(shí)，x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3，即A（-1，0），B（3，0），D（1，-4）．

由勾股定理，得BC2=18，CD2=1+1=2，BD2=22+16=20，BC2+CD2=BD2，∠BCD=90°，
①當(dāng)△APC∽△DCB時(shí)，＝，即，解得AP=1，即P（0，0）．
②當(dāng)△ACP∽△DCB時(shí)，，即，解得AP=10，即P′（9，0）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)（0，0）（9，0）．

（4）設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m 2-2m-3）

當(dāng)∠QCA=90°，由AC2+CQ2=AQ2

得到：32+（-1）2+（m 2-2m-3+3）2+m 2=（m+1）2+( m 2-2m-3)2，
解得m=0或；

則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）或（，-）

當(dāng)∠QAC=90°，由AC2+AQ2=CQ2

得到：32+（-1）2 +（m+1）2+( m 2-2m-3)2=（m 2-2m-3+3）2+m 2，
解得m=-1或；
則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（，）

綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）、（，-）、（-1，0）、（，）；