Question

5．已知關于x的方程x²-（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）已知方程的一個根為x=0，求代數(shù)式（2m-1）²+（3+m）（3-m）+7m-5的值（要求先化簡再求值）．

Answer 1

分析 （1）找出a，b及c，表示出根的判別式，變形后得到其值大于0，即可得證．
（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化簡代數(shù)式再將m的值代入所求的代數(shù)式并求值即可．

解答 解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）²-4m（m+1）=1＞0，
∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）∵x=0是此方程的一個根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=-1，
∵（2m-1）²+（3+m）（3-m）+7m-5=4m²-4m+1+9-m²+7m-5=3m²+3m+5，
把m=0代入3m²+3m+5得：3m²+3m+5=5；
把m=-1代入3m²+3m+5得：3m²+3m+5=3×1-3+5=5．

點評 本題考查了根的判別式和一元二次方程的解．解題時，逆用一元二次方程解的定義易得出所求式子的值，在解題時要重視解題思路的逆向分析．