【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),拋物線yx24x4x軸交于點AB,與y軸交于點C.頂點為D,對稱軸與x軸的交點為E,連接BD,DCCE.點P是拋物線在第四象限內(nèi)一點,過點PPHCE,垂足為H.點Fy軸上一點,連接PF并延長交x軸于點G,過點OOMPG,垂足為M

1)當(dāng)PH取得最大值時,求PE+PF+OF的最小值;

2)當(dāng)PE+PF+OF取得最小值時,把△OMF繞點O旋轉(zhuǎn)a°(0a360°),記旋轉(zhuǎn)過程中的△OMF為△OMF′.直線MF′與x軸的交點為K.當(dāng)△OFK是以OK為底的等腰三角形時,直接寫出所有滿足條件的點M′的坐標(biāo).

【答案】1PE+PF+OF的最小值=5+;(2)點M′的坐標(biāo)為:(﹣,﹣)或(﹣,)或()或(,﹣).

【解析】

1)先求得拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo),再待定系數(shù)法求直線CE解析式,再根據(jù)平行線一次項系數(shù)相等求經(jīng)過點P且平行于CE的直線解析式,解方程組求點P坐標(biāo),求PE+PF+OF最小值即求PF+OF的最小值,根據(jù)兩點之間線段最短即可;

2OFK是以OK為底的等腰三角形,按照順時針旋轉(zhuǎn)可分四種情形:①點M在第三象限,OFKF,點M在第二象限,OFKF,③點M在第一象限,OFKF,④點M在第四象限,FKOF;分別討論即可.

解:(1)在拋物線yx24x4中,令x0,則y=﹣4,∴C0,﹣4),

y0,得x24x40,解得:x12+2,x222,∴A22,0),B2+2,0

yx24x4=(x228,∴頂點D2,﹣8),E2,0),

易求得直線CE解析式為:y2x4,設(shè)經(jīng)過點P且平行于CE的直線解析式為y2x+b

x24x42x+b,得x26x4b0,=(﹣624(﹣4b)=52+4b,

∵△=0時,點PCE的距離PH最大,∴52+4b0,即:b=﹣13

y2x13,解方程組

P3,﹣7

如圖1,過點PPQx軸于點Q,∵PE+PF+OFPE是定值,

PE+PF+OF的最小即PF+OF最小,令FMOF,則PF+OFPF+FMPM

此時,∵∠OGF+GOM=∠GOM+FOM90°

∴∠OGF=∠FOM,

∵∠FOG=∠FMO90°

∴△FOG∽△FMO

∵△GPQ∽△GFO

QG

G(﹣,0

PG,GM

PMPGGM,

PEQ中,PE5

PE+PF+OF的最小值=5+;

2)①如圖2,點M在第三象限,∵△OFK是以OK為底的等腰三角形,∴OFKF3FM

MKKFFM,

OK

設(shè)Mm,n),則﹣nOKKMMO

∴﹣n×,解得:n=﹣

tanKOM,即﹣×m

m=﹣,

M(﹣,﹣);

②如圖3,點M在第二象限,OFKF,作FHx軸于H,作MRy軸于R

OFKF,FHx

OHHK,

KMKF′+FM3+,

OK

∵∠ORM=∠KMO90°,∠ROM′+KOM=∠OKM′+KOM90°

∴∠ROM=∠OKM

∴△OMR∽△KOM

,即:

MR,OR,

M(﹣,);

③如圖4,作MGx軸于G,點M在第一象限,OFKF,∵FOFK3MK3,

OK,MG,

tanMOK

OG

M,);

④如圖5,點M在第四象限,作MGx軸于G,∵FKOF3

MKMF′+FK+3

OK

MG,OG

M,﹣);

綜上所述,點M的坐標(biāo)為:(﹣,﹣)或(﹣,)或(,)或(,﹣).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線yax2+bx+3經(jīng)過點A(﹣10)、B3,0)兩點,且交y軸交于點C

1)求拋物線的解析式;

2)點M是線段BC上的點(不與B、C重合),過MMNy軸交拋物線于N,若點M的橫坐標(biāo)為m,請用m的代數(shù)式表示MN的長;

3)在(2)的條件下,連接NB,NC,是否存在點M,使BNC的面積最大?若存在,求m的值;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了提倡節(jié)約用電,某地區(qū)規(guī)定每月用電量不超過 a 千瓦·時,居民生活用電基本價格為每千瓦時 0.5 元;若每月用電量超過 a 千瓦·時,則超過部分按基本電價提高 20%收費(fèi).居住此地的老李家二月份用電 120 千瓦·時,所交的電費(fèi)為 66 元.

1)求 a 的值;

2)老李登錄當(dāng)?shù)貒译娋W(wǎng)網(wǎng)絡(luò)平臺繳費(fèi)后彈出一個對話框:您的家庭一月份和二月份的平均電費(fèi)不超過0.54 /千瓦·時,評為節(jié)能小家庭.試計算老李家一月份的用電量的范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某學(xué)校在商場購買甲、乙兩種不同足球,購買甲種足球共花費(fèi)2000元,購買乙種足球共花費(fèi)1400元,購買甲種足球數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍,且購買一個乙種足球比購買一個甲種足球多花20元.

(1)求購買一個甲種足球、一個乙種足球各需多少元?

(2)為響應(yīng)足球進(jìn)校園的號召,這所學(xué)校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個.恰逢該商場對兩種足球的售價進(jìn)行調(diào)整,甲種足球售價比第一次購買時提高了10%,乙種足球售價比第一次購買時降低了10%,如果此次購買甲、乙兩種足球的總費(fèi)用不超過2900元,那么這所學(xué)校最多可購買多少個乙種足球?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在等腰△ABC中,ABAC,CE、BD分別為∠ACB、∠ABC的角平分線,CE、BD相交于P

1)求證:CDBE

2)若∠A98°,求∠BPC的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,市教育局決定開展經(jīng)典誦讀進(jìn)校園活動,某校團(tuán)委組織八年級100名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)典誦讀選拔賽,賽后對全體參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計圖表。

組別

分?jǐn)?shù)段

頻次

頻率

A

60x<70

17

0.17

B

70x<80

30

a

C

80x<90

b

0.45

D

90x<100

8

0.08

請根據(jù)所給信息,解答以下問題:

(1)表中a=___b=___;

(2)請計算扇形統(tǒng)計圖中B組對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);

(3)已知有四名同學(xué)均取得98分的最好成績,其中包括來自同一班級的甲、乙兩名同學(xué),學(xué)校將從這四名同學(xué)中隨機(jī)選出兩名參加市級比賽,請用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名同學(xué)都被選中的概率。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點A在拋物線上,直線y軸于點M,AC于點C,以AC為對角線作矩形ABCD,若點M的坐標(biāo)為(0,6),則BD的取值范圍是_______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在下列函數(shù)圖象上任取不同兩點Px1y1),Qx2y2),一定能使(x2x1)(y2y1)>0成立的是( 。

A.y=﹣2x+1x0B.y=﹣x22x+8x0

C.yx0D.y2x2+x6x0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,P是直徑AB上的一點,AB=6,CPAB交半圓于點C,以BC為直角邊構(gòu)造等腰RtBCD,∠BCD=90°,連接OD

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對線段AP,BC,OD的長度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.

下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完整:

1)對于點PAB上的不同位置,畫圖、測量,得到了線段AP,BCOD的長度的幾組值,如下表:

位置1

位置2

位置3

位置4

位置5

位置6

位置

AP

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

BC

6.00

5.48

4.90

4.24

3.46

2.45

OD

6.71

7.24

7.07

6.71

6.16

5.33

APBCOD的長度這三個量中,確定________的長度是自變量,________的長度和________的長度都是這個自變量的函數(shù);

2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中,畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象;

3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)OD=2BC時,線段AP的長度約為________

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案