Question

如圖，已知△ABC中，AB比AC長(zhǎng)5cm，BC的垂直平分線叫AB于D，交BC于E，△ACD的周長(zhǎng)是25cm．
（1）求AB和AC的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)∠B=30°，DE=6cm時(shí)，求AD的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BD=CD，然后求出△ACD的周長(zhǎng)=AB+AC，再解關(guān)于AB、AC的二元一次方程組即可；
（2）在Rt△BDE中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出BD=2DE=12cm，則CD=BD=12cm，又AC+AD+DC=25cm，AC=10cm，即可求出AD的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC．
∵AC+AD+DC=25cm，
∴AC+AD+BD=25cm，
即AC+AB=25cm．
又∵AB-AC=5cm，
設(shè)AB=xcm，AC=ycm．
根據(jù)題意，得

x+y=25 x-y=5

，
解得

x=15 y=10

，
故AB長(zhǎng)為15cm，AC長(zhǎng)為10cm；

（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠B=30°，DE=6cm，
∴BD=2DE=12cm，
∴CD=BD=12cm，
∵AC+AD+DC=25cm，AC=10cm，
∴AD=25-10-12=3（cm），
故AD長(zhǎng)為3cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，解二元一次方程組，熟記性質(zhì)并求出△ACD的周長(zhǎng)=AC+BC是解題的關(guān)鍵．也考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)．