Question

點E為正方形ABCD的對角線上一點，連接DE，BE并延長交AD于點F，EG⊥DE交BC于G，下列結(jié)論：①△BEC≌△DEC；②∠BED=120°時，EF平分∠AED； ③BG=AE；④當(dāng)點G為BC的中點時，DF=2AF．其中正確的是（ ）

A．①②
B．①③④
C．②③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，根據(jù)三角形全等的判定易證得△BEC≌△DEC，則可判斷①正確；∠BEC=∠DEC，當(dāng)∠BED=120°時，則∠DEC=60°，∠DEF=180°-120°=60°，易得∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，即可判斷EF平分∠AED，所以②正確；過E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，四邊形ENCQ、四邊形APEM都為正方形，由EG⊥DE得∠DEQ=∠GEN，易證得Rt△DEQ≌Rt△GEN，得到△DEQ≌△GEN，則EG=ED，由①可得ED=EB，則EB=EG，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BN=GN，則BN=AM，而AE=AM，AM=AE，易得BG=2BN=2AM=AE，可判斷③正確；當(dāng)G點為BC的中點，設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，則BN=NG=a，NC=EN=3a，易證得Rt△MFE∽Rt△NEG，得到MF：NG=ME：EN，即MF：a=a：3a，求出MF=a，則AF=a+a=a，DF=4a-a=a，可判斷④正確．
解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中
，
∴△BEC≌△DEC，所以①正確；
∴∠BEC=∠DEC，
當(dāng)∠BED=120°時，
∴∠DEC=60°，∠DEF=180°-120°=60°，
∴∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，
∴∠AEF=∠DEF，即EF平分∠AED，所以②正確； 
如圖，過E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，
∴四邊形ENCQ、四邊形APEM都為正方形，
∵EG⊥DE，
∴∠DEQ=∠GEN，
在△DEQ和△GEN中，
，
∴△DEQ≌△GEN，
∴EG=ED，
∵△BEC≌△DEC，
∴ED=EB，
∴EB=EG，
∴BN=GN，
∵BN=AM，而AE=AM，
∴AM=AE，
∴BG=2BN=2AM=AE，所以③正確；
當(dāng)G點為BC的中點，設(shè)正方形ABCD的邊長為4a，則BN=NG=a，NC=EN=3a，
∴AM=ME=a，
易證得Rt△MFE∽Rt△NEG，
∴MF：NG=ME：EN，即MF：a=a：3a，
∴MF=a，
∴AF=a+a=a，
∴DF=4a-a=a，
∴DF=2AF，所以④正確．
故選D．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角分別相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．也考查了正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．