【題目】如下圖。
(1)問題 如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°.求證: .
(2)探究 如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.
(3)應(yīng)用 請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題
如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠CPD=∠A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,DC為半徑的圓與AB相切時(shí),求t的值.
【答案】
(1)證明:如圖1,
∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,
∠BPC+∠APD=90°,
∴∠ADP=∠BPC,
∴△ADP∽△BPC,
∴
(2)解:結(jié)論 仍然成立.
理由:如圖2,
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.
∵∠DPC=∠A=∠B=θ,
∴∠BPC=∠ADP,
∴△ADP∽△BPC,
∴
(3)解:如圖3,
過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.
∵AD=BD=5,AB=6,
∴AE=BE=3.
由勾股定理可得DE=4.
∵以點(diǎn)D為圓心,DC為半徑的圓與AB相切,
∴DC=DE=4,
∴BC=5﹣4=1.
又∵AD=BD,
∴∠A=∠B,
∴∠DPC=∠A=∠B.
∵AD=BD,
∴∠A=∠B,
∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC,∠DPC=∠A,
∴∠ADP=∠BPC,
∴△APD∽△BCP,
∴ ,
∴ADBC=APBP;
∴5×1=t(6﹣t),
解得:t1=1,t2=5,
∴t的值為1秒或5秒
【解析】(1)如圖1,由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;(2)如圖2,由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;(3)如圖3,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3,根據(jù)勾股定理可得DE=4,由題可得DC=DE=4,則有BC=5﹣4=1.易證∠DPC=∠A=∠B.根據(jù)ADBC=APBP,就可求出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖四邊形ABCD是一塊草坪,量得四邊長AB=3m,BC=4m,DC=12m,AD=13m,∠B=90°,求這塊草坪的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2013年5月7日浙江省11個(gè)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)如圖所示:
(1)這11個(gè)城市當(dāng)天的空氣質(zhì)量指數(shù)的極差、眾數(shù)和中位數(shù)分別是多少?
(2)當(dāng)0≤AQI≤50時(shí),空氣質(zhì)量為優(yōu).求這11個(gè)城市當(dāng)天的空氣質(zhì)量為優(yōu)的頻率;
(3)求寧波、嘉興、舟山、紹興、臺(tái)州五個(gè)城市當(dāng)天的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】科學(xué)家為了推測最適合某種珍奇植物生長的溫度,將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中,經(jīng)過一定時(shí)間后,測試出這種植物高度的增長情況,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:
溫度t/℃ | ﹣4 | ﹣2 | 0 | 1 | 4 |
植物高度增長量l/mm | 41 | 49 | 49 | 46 | 25 |
科學(xué)家經(jīng)過猜想、推測出l與t之間是二次函數(shù)關(guān)系.由此可以推測最適合這種植物生長的溫度為℃.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y= x2+bx與直線y=2x交于點(diǎn)O(0,0),A(a,12).點(diǎn)B是拋物線上O,A之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點(diǎn)C,E.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)C為OA的中點(diǎn),求BC的長;
(3)以BC,BE為邊構(gòu)造矩形BCDE,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),求出m,n之間的關(guān)系式.
(4)將射線OA繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°并與拋物線交于點(diǎn)P,求出P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ABC,∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列結(jié)論正確的是:①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周長為AB+AC;④BD=CE.( )
A. ③④ B. ①② C. ①②③ D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①所示是一個(gè)長為2m,寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長方形,然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形.
(1)按要求填空:
①你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于 ;
②請用兩種不同的方法表示圖②中陰影部分的面積:
方法1:
方法2:
③觀察圖②,請寫出代數(shù)式(m+n)2,(m﹣n)2,mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系: ;
(2)根據(jù)(1)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:若|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,求(m﹣n)2的值.
(3)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示,如圖③,它表示了 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一個(gè)“Z”型的工件(工件厚度忽略不計(jì)),如圖示,其中AB為20cm,BC為60cm,∠ABC=90°,∠BCD=50°,求該工件如圖擺放時(shí)的高度(即A到CD的距離).(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192)
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【題目】已知:如圖,在長方形ABCD中,AB=4,AD=6.延長BC到點(diǎn)E,使CE=2,連接DE,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t的值為( )秒時(shí),△ABP和△DCE全等.
A. 1 B. 1或3 C. 1或7 D. 3或7
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