Question

【題目】如圖1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以O(shè)B為一邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（3）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）B的坐標(biāo)為（，4）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）1．

【解析】

試題分析：（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得AB與OA的長(zhǎng)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠ADB=∠OBC，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形；

（3）首先設(shè)OG的長(zhǎng)為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8﹣x，然后根據(jù)勾股定理即可求得OG的長(zhǎng)．

試題解析：（1）解：在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，∴OA=OBcos30°==，AB=OBsin30°=8×=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，4）；

（2）證明：∵∠OAB=90°，∴AB⊥x軸，∵y軸⊥x軸，∴AB∥y軸，即AB∥CE，∵∠AOB=30°，∴∠OBA=60°，∵DB=DO=4，∴DB=AB=4，∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，∴∠ADB=60°，∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC，∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（3）解：設(shè)OG的長(zhǎng)為x，∵OC=OB=8，∴CG=8﹣x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8﹣x，在Rt△AOG中，，即，解得：x=1，即OG=1．