Question

【題目】如圖，矩形中，，點在邊上，過點作的平行線，交于點，易得矩形．將矩形繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在邊上，點的對應(yīng)點落在邊上，的對應(yīng)邊交于點．

（1）求證：；（提示：連接，）

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2），

【解析】

（1）連接EB，EN，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證HE=NF，從而根據(jù)“AAS”可證△NGF≌△EGH，進而可證GF=GH；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可證，然后在Rt△DEM中求出DE、DM的值，根據(jù)求出CM的長，然后在Rt△CMN中求出CN的長即可．

（1）證明：如圖，連接，

∵矩形，

∴，，

∴，，

∵四邊形是由矩形繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

∴，，，

∴，，

∴，

在中，

，

∴，

∴；

（2）解：∵四邊形是矩形，，

∴，

∵四邊形HNME是矩形，

∴∠EMN=∠MEH=90°，

∴，

∴∠DME=∠AEH，

同理可求：∠DME=∠CNM，

∵旋轉(zhuǎn)角為30°，

∴，

∴，

同理：，

∴，

∴．