Question

如圖，將△ABC紙片沿MN折疊后點(diǎn)C與點(diǎn)A恰好重合，設(shè)∠C=22.5°，AD⊥BC于點(diǎn)D．過點(diǎn)N作NE⊥AB于點(diǎn)E，并且交AD于點(diǎn)F，求證：DB=DF．

Answer 1

證明：連接AN
∵△ANM與△CNM關(guān)于NM對(duì)稱
∴△ANM≌△CNM，
∴∠1=∠C．
∵∠C=22.5°，
∴∠1=22.5°，
∴∠AND=45°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADN=90°，
∴∠DAN=45°，
∴∠AND=∠DAN，
∴AD=ND．
∵NE⊥AB，
∴∠BEN=90'，
∴∠EAF+∠4=90°．
∵∠4=∠3，∠3+∠2=90°
∴∠EAF=∠2．
∵在△ABD與△NFD中，
，
∴△ABD≌△NFD（ASA），
∴DB=DF．
分析：先連結(jié)AN，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得出△ANM≌△CNM，就有∠1=∠C，根據(jù)條件就有∠DAN=45°，可以得出△ADN是等腰直角三角形，就有AD=DN，再由條件可以得出△ABD≌△NFD，從而有DB=DF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定及運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)由軸對(duì)稱的性質(zhì)為起點(diǎn)證明△ADN是等腰直角三角形是關(guān)鍵，從而證明△ABD≌△NFD是難點(diǎn)．