Question

5．如下圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點(diǎn)A，BC與⊙O相交于點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使得ED=EA．下面四個結(jié)論：
①ED是⊙O的切線；②BC=2OE；③△BOD為等邊三角形；④△EOD∽△CAD
正確的是（　　）

• A． ①②
• B． ②④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 如圖，通過證明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易證得ED是⊙O的切線；證得OE是△ABC的中位線，證得BC=2OE，由OE∥BC，證得∠AEO=∠C，通過三角形全等證得∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，從而∠ODE=∠ADC=90°，從而證得△EOD∽△CAD．

解答 證明：如圖，連接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE與△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{AE=DE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴ED是⊙O的切線；
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE+∠C=90°，
∵AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴AE=EC，
∵OA=OB，
∴OE∥BC，BC=2OE，
∴∠AEO=∠C，
∵△AOE≌△DOE，
∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，
∴∠ODE=ADC=90°，
∴△EOD∽△CAD．
∴正確的①②④，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．