Question

如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C、點D在⊙O上，CP⊥AB于P，CH⊥DB交DB延線于H，BC平分∠ABH．求證：CH²=DH•BH．

Answer 1

證明：∵CP⊥AB，CH⊥DB，
∴∠CPB=∠CHB=90°，
∵BC平分∠ABH，
∴∠PBC=∠HBC，
∴∠HCB=∠BCP，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠CBP=90°，
∵∠BCP+∠CBP=90°，
∴∠BCP=∠A，
∵∠D=∠A，
∴∠BCH=∠D，
∵∠CHB=∠DHC=90°，
∴△BCH∽△CDH，
∴CH：DH=BH：CH，
∴CH²=DH•BH．
分析：由CP⊥AB于P，CH⊥DB交DB延線于H，BC平分∠ABH，易求得∠HCB=∠BCP，又由AB為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，然后根據(jù)同角的余角相等，證得∠BCP=∠A，又由∠D=∠A，即可得∠BCH=∠D，繼而證得△BCH∽△CDH，利用相似三角形的對應邊成比例，即可證得CH²=DH•BH．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、角平分線的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．