Question

如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C（1，

1

2

）處，兩直角邊BC、AC分別與x，y軸平行，紙板的另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B恰好是直線y=kx+

9

2

與雙曲線y=

m

x

（m＞0）的交點(diǎn)．
（1）試用含有m或k的代數(shù)式表示點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求直線AB及雙曲線的解析式；
（3）設(shè)雙曲線y=

m

x

（m＞0）在A、B之間的部分為L(zhǎng)，讓一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在L上滑動(dòng)，兩直角邊始終與坐標(biāo)軸平行，且與線段AB交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄渴欠翊嬖邳c(diǎn)P，使得△ABC的面積是△MNP面積的四倍？請(qǐng)寫(xiě)出你的探究過(guò)程和結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由題可得x_A=x_C=1，y_B=y_C=

1

2

，然后只需代入直線或雙曲線的解析式，就可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)B坐標(biāo)的兩種表示建立關(guān)于k和m的方程組，然后只需解這個(gè)方程組就可解決問(wèn)題；
（3）易證△ACB∽△MPN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，就可得到y(tǒng)_M、y_P（用a的代數(shù)式表示），根據(jù)MP=y_M-y_P建立關(guān)于a的方程，解這個(gè)方程就可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）由題可得：x_A=x_C=1，y_B=y_C=

1

2

．
∵點(diǎn)A、B在直線y=kx+

9

2

上，
∴y_A=k+

9

2

，kx_B+

9

2

=

1

2

即x_B=-

4

k

，
∴點(diǎn)A為（1，k+

9

2

），點(diǎn)B為（-

4

k

，

1

2

）．
∵點(diǎn)A、B在雙曲線y=

m

x

（m＞0）上，
∴y_A=

m

1

=m，

m

xB

=

1

2

即x_B=2m，
∴點(diǎn)A為（1，m），點(diǎn)B為（2m，

1

2

）．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為（1，k+

9

2

），也可表示為（1，m），
點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（-

4

k

，

1

2

），也可表示為（2m，

1

2

）．

（2）由（1）可得：

k+ 9 2 =m - 4 k =2m

，
解得：

k=- 1 2 m=4

或

k=-4 m= 1 2

．
∵y_A＞y_C，即m＞

1

2

，
∴k=-

1

2

，m=4，
∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+

9

2

，雙曲線的解析式為y=

4

x

；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ABC的面積是△MNP面積的四倍．
∵M(jìn)P∥AC∥y軸，PN∥BC∥x軸，
∴∠CAB=∠PMN，∠ABC=∠MNP，
∴△ACB∽△MPN，
∴

S△ACB

S△MPN

=（

AC

MP

）²=4，
∴AC=2MP．
∵AC=y_A-y_C=4-

1

2

=

7

2

，
∴MP=

7

4

．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)也為a，
∴y_M=-

1

2

a+

9

2

，y_N=

4

a

，
∴MP=y_M-y_P=-

1

2

a+

9

2

-

4

a

=

7

4

，
整理得：2a²-11a+16=0．
∵△=（-11）²-4×2×16=-7＜0，
∴該方程無(wú)解，
所以假設(shè)不成立，
因此不存在點(diǎn)P，使得△ABC的面積是△MNP面積的四倍．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求直線及雙曲線的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、解方程組等知識(shí)，根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)B坐標(biāo)的兩種表示方法建立方程組是解決第（2）小題的關(guān)鍵，利用MP=y_M-y_P建立方程是解決第（3）小題的關(guān)鍵．