Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=﹣x+7與正比例函數(shù)y= x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l∥y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿O﹣C﹣A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？
②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵一次函數(shù)y=﹣x+7與正比例函數(shù)y= x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．

∴ ，

解得： ，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，4）；

∵y=﹣x+7=0，

解得：x=7，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（7，0）

（2）

解：①當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0≤t＜4時(shí)，PO=t，PC=4﹣t，BR=t，OR=7﹣t，

∵當(dāng)以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，

∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8，

∴ （AC+BO）×CO﹣ AC×CP﹣ PO×RO﹣ AM×BR=8，

∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR=16，

∴（3+7）×4﹣3×（4﹣t）﹣t×（7﹣t）﹣4t=16，

∴t2﹣8t+12=0，

解得：t1=2，t2=6（舍去），

當(dāng)t=4時(shí)，無(wú)法構(gòu)成三角形，

當(dāng)4＜t＜7時(shí)，S△APR= AP×OC=2（7﹣t）=8，解得t=3，不符合4＜t＜7；

綜上所述，當(dāng)t=2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8；

②存在．延長(zhǎng)CA到直線l交于一點(diǎn)D，當(dāng)l與AB相交于Q，

∵一次函數(shù)y=﹣x+7與x軸交于（7，0）點(diǎn)，與y軸交于（0，7）點(diǎn)，

∴NO=OB，

∴∠OBN=∠ONB=45°，

∵直線l∥y軸，

∴RQ=RB，CD⊥L，

當(dāng)0≤t＜4時(shí)，如圖1，

RB=OP=QR=t，DQ=AD=（4﹣t），AC=3，PC=4﹣t，

∵以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則AP=AQ，

∴AC2+PC2=AP2=AQ2=2AD2，

∴9+（4﹣t）2=2（4﹣t）2，解得：t1=1，t2=7（舍去），

當(dāng)AP=PQ時(shí) 32+（4﹣t）2=（7﹣t）2，

解得t=4 （舍去）

當(dāng)PQ=AQ時(shí)，2（4﹣t）2=（7﹣t）2，

解得t1=1+3 （舍去），t2=1﹣3 （舍去），

當(dāng)t=4時(shí)，無(wú)法構(gòu)成三角形，

當(dāng)4＜t＜7時(shí)，如圖（備用圖），過(guò)A作AD⊥OB于D，則AD=BD=4，

設(shè)直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE=RD=t﹣4，AP=7﹣t，

由cos∠OAC= = ，

得AQ= （t﹣4），

若AQ=AP，則 （t﹣4）=7﹣t，解得t= ，

當(dāng)AQ=PQ時(shí)，AE=PE，即AE= AP，

得t﹣4= （7﹣t），

解得：t=5，

當(dāng)AP=PQ時(shí)，過(guò)P作PF⊥AQ于F，

AF= AQ= × （t﹣4），

在Rt△APF中，由cos∠PAF= = ，

得AF= AP，

即 × （t﹣4）= （7﹣t），

解得：t= ，

綜上所述，當(dāng)t=1、5、 、 時(shí)，存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

【解析】（1）根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法直接得出即可，再利用直線交點(diǎn)坐標(biāo)求法將兩直線解析式聯(lián)立即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①利用S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB=8，表示出各部分的邊長(zhǎng)，整理出一元二次方程，求出即可；②根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得出，∠OBN=∠ONB=45°，進(jìn)而利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定求出即可．
【考點(diǎn)精析】掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過(guò)仨象限；正比例函數(shù)更簡(jiǎn)單,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來(lái)相見(jiàn),k為正來(lái)右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來(lái)左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對(duì)值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．