Question

【題目】如圖，在Rt△OAB中，∠A=90°，OA=4，AB=3，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，沿OB向終點(diǎn)B移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)N到OA的距離；

（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1點(diǎn)N到OA的距離為；（2）S=-，當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，最大值為S=．（3） t=2或t=時(shí)，△OMN是直角三角形

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理計(jì)算出OB，再用三角函數(shù)即可；

（2）得到S與t的函數(shù)關(guān)系，從而確定出面積最大值；

（3）要使△OMN是直角三角形，一個(gè)直角三角形和它相似，即可；

試題解析：（1）在Rt△OAB中，OB==5，

∴點(diǎn)N到OA的距離為ON×sin∠O=；

（2）S=（4-t）× =-，

當(dāng)t=-=2時(shí)，S有最大值，

最大值為S=-×22+×2=．

（3）∵△ABO為直角三角形，

∴以M、N、O為頂點(diǎn)的三角形和△ABO相似；

當(dāng)△OMN∽△OAB時(shí)，

∴，

∴，

∴t=2，

當(dāng)△OMN∽△OBA時(shí)，

∴，

∴，

∴t=，

∴t=2或t=時(shí)，△OMN是直角三角形