Question

矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且△ADO為等邊三角形，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E．
（1）求∠ABD度數(shù)；
（2）若BD=10，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠DAB=90°，求出∠ADB=60°，代入∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB求出即可；
（2）求出AD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出DE=EO，求出DE，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∵△ADO為等邊三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°；

（2）∵BD=10，∠BAD=90°，∠ABD=30°，
∴AD=

1

2

BD=5，
∵△ADO為等邊三角形，
∴AB=AO=DO=5，
∵AE⊥DO，
∴DE=EO=

1

2

DO=2.5，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=

AD2-DE2

=

52-2．52

=

5

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力．