Question

如圖，在矩形ABCD中，點O在對角AC上，以O(shè)A長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若tan∠ACB=

3

4

，AE=7，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連OE，由四邊形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，得到∠OEC=90°，根據(jù)切線的判定定理即得到CE是⊙O的切線；
（2）連EF，由AF是直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為90度得到∠AEF=90°，而∠ACB=∠3，則tan∠3=tan∠ACB=

3

4

，在Rt△AEF中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到AF的長即⊙O的直徑．

解答：（1）證明：連OE，如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠3=∠1，∠2+∠5=90°，
而OA=OE，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，∠4=∠2，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠OEC=90°，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：連EF，
∵AF是直徑，
∴∠AEF=90°，
∵∠ACB=∠3，
∴tan∠3=tan∠ACB=

3

4

，
在Rt△AEF中，
∵tan∠3=

3

4

，
而AE=7，
∴EF=7×

3

4

=

21

4

，
即⊙O的直徑為AF=

72+( 21 4 )2

=

35

4

．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義以及圓周角定理的討論．