Question

【題目】如圖，已知四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)A（2，2）和點(diǎn)C（6，0），連結(jié)CA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)D．

（1）求直線AC的函數(shù)解析式．
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位/秒沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以1個(gè)單位/秒沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作x軸垂線交直線CD和直線OA分別于點(diǎn)E、F，猜想四邊形EPQF的形狀（點(diǎn)P、Q重合除外），并證明你的結(jié)論．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，四邊形EPQF是正方形？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

∵點(diǎn)A（2，2）和點(diǎn)C（6，0），

∴ ，

∴ ，

∴直線AC的解析式為y=﹣ x+3

（2）解：如圖1，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），

∴直線OA的解析式為y=x，

∵點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以1個(gè)單位/秒沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，

∴OQ=t，

∴F（t，t），

∴FQ=t，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位/秒沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，

∴CP=2t，

∴OP=6﹣2t，

由（1）知，直線AC的解析式為y=﹣ x+3，

∴E（6﹣2t，t），

∴PE=t，

∴PE=FQ，

∵FQ⊥x軸，PE⊥x軸，

∴∠PQF=90°，F(xiàn)Q∥PE，

∵PE=FQ，

∴四邊形PEFQ是平行四邊形，

∵∠PQF=90°，

∴平行四邊形PEFQ是矩形

（3）解：由（2）知，PC=2t，OQ=t，PE=t，

∴PQ=OC﹣OQ﹣CP=6﹣t﹣2t=6﹣3t，或PQ=OQ+CP﹣OC=3t﹣6，

∵四邊形PEFQ是正方形，

∴PQ=PE，

∴6﹣3t=t或3t﹣6=t，

∴t= 或t=3，即：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng) 秒或3秒時(shí)，四邊形EPQF是正方形

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，即可得出PE=FQ，即可得出結(jié)論；（3）先分兩種情況（點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)或右側(cè)）求出PQ，利用PE=PQ建立方程即可求出時(shí)間．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的確定一次函數(shù)的表達(dá)式和正方形的判定方法，需要了解確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法；先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定出有一個(gè)角是直角才能得出正確答案．