Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），對(duì)稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使得2S_△ABE=S_△ABC？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：計(jì)算題

分析：（1）把C點(diǎn)坐標(biāo)代入得到c=-3，再根據(jù)拋物線對(duì)稱軸方程求出b，從而得到拋物線解析式；
（2）先確定A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算出S_△ABC=6，則S_△ABE=3，設(shè)E（x，x²-2x-3），利用三角形面積公式得到

1

2

•4•|x²-2x-3|=3，然后分別解兩個(gè)一元二次方程即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

c=-3 - b 2 =1

，解得

b=-2 c=-3

所以拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）存在．
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2x-3=-3，則C（0，-3），
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
所以S_△ABC=

1

2

×3×4=6，
而2S_△ABE=S_△ABC，
所以S_△ABE=3，
設(shè)E（x，x²-2x-3），
所以

1

2

•4•|x²-2x-3|=3，
即2x²-4x-9=0或2x²-4x-3=0，
解2x²-4x-9=0得x₁=

2+ 22

2

，x₂=

2- 22

2

解2x²-4x-3=0得x₁=

2+ 5

2

，x₂=

2- 5

2

，
所以滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為（

2+ 22

2

，

3

2

），（

2- 22

2

，

3

2

），（

2+ 5

2

，-

3

2

），（

2- 5

2

，-

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．