Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)D為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；

①連接CD，是否存在點(diǎn)D，使得AC平分∠OCD？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

②在①的條件下，若P為拋物線上位于AC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、C、A、D為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，則S取何值或在什么范圍時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)？

Answer 1

【答案】(1)；(2)①存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；②

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A、C坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）①若存在點(diǎn)D，使得AC平分∠OCD，則∠OCA=∠DCA，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，如圖1，則DE∥y軸，易得DC=DF，設(shè)D（m，），則可用含m的代數(shù)式表示出DF，然后根據(jù)DC=DF即可得出關(guān)于m的方程，解方程即得結(jié)果；

②先由①的結(jié)論求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和△ACD的面積，然后分點(diǎn)P在直線CD下方時(shí)，作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交直線CD于點(diǎn)Q，如圖2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出△PCD的最大面積，進(jìn)一步即可求出有三個(gè)點(diǎn)P時(shí)的S的值；點(diǎn)P在直線AD下方時(shí)，輔助線作法如圖3，再求出△PAD的最大面積，進(jìn)而可求出只有一個(gè)點(diǎn)P時(shí)的S的值，于是可得結(jié)果．

解：（1）對，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，∴點(diǎn)A（4，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，∴點(diǎn)C（0，﹣2），

把A、C兩點(diǎn)代入拋物線得：

，解得：，

∴拋物線的解析式是；

（2）①若存在點(diǎn)D，使得AC平分∠OCD，則∠OCA=∠DCA，

過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，如圖1，則DE∥y軸，

∴∠OCA=∠DFC，∴∠DCF=∠DFC，∴DC=DF，

設(shè)D（m，），則F（m，），

∴，

∴，

解得：（舍去）或，

∴存在點(diǎn)D，使得AC平分∠OCD，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是；

（3）對，當(dāng)x=時(shí)，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（，），

此時(shí)DF=，△ACD的面積=，

當(dāng)點(diǎn)P在直線CD下方時(shí)，作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交直線CD于點(diǎn)Q，如圖2，

∵點(diǎn)C（0，﹣2），D（，），

∴直線CD的解析式為，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（n，），則Q（n，），

∴，

∴△PCD的最大面積=，

此時(shí)四邊形CPDA的面積=；

當(dāng)點(diǎn)P在直線AD下方時(shí)，作PG⊥x軸于點(diǎn)G，交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，

∵點(diǎn)A（4，0），D（，），

∴直線AD的解析式為，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（n，），則Q（n，），

∴，

∴△PAD的最大面積=，

此時(shí)四邊形CDPA的面積=；

綜上，當(dāng)S的取值范圍為，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)．