【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)點(diǎn)D為直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn);

①連接CD,是否存在點(diǎn)D,使得AC平分∠OCD?若存在,求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

②在①的條件下,若P為拋物線上位于AC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以P、C、AD為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S,則S取何值或在什么范圍時(shí),相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)?

【答案】(1)(2)①存在,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為;②

【解析】

1)先求出點(diǎn)A、C坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;

2)①若存在點(diǎn)D,使得AC平分∠OCD,則∠OCA=DCA,過(guò)點(diǎn)DDEx軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,如圖1,則DEy軸,易得DC=DF,設(shè)Dm),則可用含m的代數(shù)式表示出DF,然后根據(jù)DC=DF即可得出關(guān)于m的方程,解方程即得結(jié)果;

先由的結(jié)論求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和ACD的面積,然后分點(diǎn)P在直線CD下方時(shí),作PGx軸于點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)Q,如圖2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PCD的最大面積,進(jìn)一步即可求出有三個(gè)點(diǎn)P時(shí)的S的值;點(diǎn)P在直線AD下方時(shí),輔助線作法如圖3,再求出PAD的最大面積,進(jìn)而可求出只有一個(gè)點(diǎn)P時(shí)的S的值,于是可得結(jié)果.

解:(1)對(duì),當(dāng)y=0時(shí),x=4,∴點(diǎn)A4,0),

當(dāng)x=0時(shí),y=2,∴點(diǎn)C0,﹣2),

A、C兩點(diǎn)代入拋物線得:

,解得:,

∴拋物線的解析式是;

2)①若存在點(diǎn)D,使得AC平分∠OCD,則∠OCA=DCA,

過(guò)點(diǎn)DDEx軸于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F,如圖1,則DEy軸,

∴∠OCA=DFC,∴∠DCF=DFC,∴DC=DF,

設(shè)Dm),則Fm),

,

解得:(舍去)或,

∴存在點(diǎn)D,使得AC平分∠OCD,且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是;

3)對(duì),當(dāng)x=時(shí),,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(,),

此時(shí)DF=,△ACD的面積=,

當(dāng)點(diǎn)P在直線CD下方時(shí),作PGx軸于點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)Q,如圖2

∵點(diǎn)C0,﹣2),D),

∴直線CD的解析式為,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(n),則Qn),

,

∴△PCD的最大面積=,

此時(shí)四邊形CPDA的面積=

當(dāng)點(diǎn)P在直線AD下方時(shí),作PGx軸于點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)Q,如圖3,

∵點(diǎn)A4,0),D,),

∴直線AD的解析式為

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(n,),則Qn,),

,

∴△PAD的最大面積=,

此時(shí)四邊形CDPA的面積=

綜上,當(dāng)S的取值范圍為,相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】(12分)實(shí)施新課程改革后,學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作交流能力有很大提高,張老師為了了解所教班級(jí)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的具體情況,對(duì)本班部分學(xué)生進(jìn)行了為期三個(gè)月的跟蹤調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分成四類(lèi),A:特別好;B:好;C:一般;D:較差;并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題:

(1)本次調(diào)查中,張老師一共調(diào)查了 名同學(xué),其中C類(lèi)女生有 名,D類(lèi)男生有 名;

(2)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)為了共同進(jìn)步,張老師想從被調(diào)查的A類(lèi)和D類(lèi)學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)形圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.

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【題目】某農(nóng)產(chǎn)品公司以元的成本收購(gòu)了某種農(nóng)產(chǎn)品噸,目前可以以/噸的價(jià)格直接售出.而該公司對(duì)這批農(nóng)產(chǎn)品有以下兩種處理方式可供選擇:

方式一:公司可將部分農(nóng)產(chǎn)品直接以/噸的價(jià)格售出,剩下的全部加工成半成品出售(加工成本忽略不計(jì)),每噸該農(nóng)產(chǎn)品可以加工得到噸的半成品,每噸半成品的售價(jià)為.

方式二:公司將該批農(nóng)產(chǎn)品全部?jī)?chǔ)藏起來(lái),這樣每星期會(huì)損失噸,且每星期需支付各種費(fèi)用元,但同時(shí)每星期每噸的價(jià)格將上漲.

1)若該公司選取方式一處理該批農(nóng)產(chǎn)品,最終獲得了的利潤(rùn)率,求該公司直接銷(xiāo)售了多少噸農(nóng)產(chǎn)品?

2)若該公司選取方式二處理該批農(nóng)產(chǎn)品,最終獲利1元,求該批農(nóng)產(chǎn)品儲(chǔ)藏了多少個(gè)星期才出售?

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【題目】已知,點(diǎn)為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn),直線分別交軸的負(fù)半軸和軸于點(diǎn),點(diǎn)

(1)若二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),求二次函數(shù)的解析式.

(2)如圖,若點(diǎn)坐標(biāo)為,且點(diǎn)內(nèi)部(不包含邊界)

①求的取值范圍;

②若點(diǎn),都在二次函數(shù)圖象上,試比較的大小

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【題目】目前,我國(guó)的空氣質(zhì)量得到了大幅度的提高.現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了某城市1個(gè)月的空氣質(zhì)量情況,并將監(jiān)測(cè)的結(jié)果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下面的問(wèn)題:

1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查的天數(shù)為_______天;扇形圖中,表示輕度污染的扇形的圓心角為______度;

2)將條形圖補(bǔ)充完整;

3)估計(jì)該城市一年(以365天計(jì)算)中,空氣質(zhì)量未達(dá)到優(yōu)的天數(shù).

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1)若連接AO,試判斷四邊形AECO的形狀,并說(shuō)明理由;

2)求證:AH是⊙O的切線;

3AB6,CH2,則AH的長(zhǎng)為

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【題目】扶貧工作小組對(duì)果農(nóng)進(jìn)行精準(zhǔn)扶貧,幫助果農(nóng)將一種有機(jī)生態(tài)水果拓寬了市場(chǎng).與去年相比,今年這種水果的產(chǎn)量增加了1000千克,每千克的平均批發(fā)價(jià)比去年降低了1元,批發(fā)銷(xiāo)售總額比去年增加了

1)已知去年這種水果批發(fā)銷(xiāo)售總額為10萬(wàn)元,求這種水果今年每千克的平均批發(fā)價(jià)是多少元?

2)某水果店從果農(nóng)處直接批發(fā),專(zhuān)營(yíng)這種水果.調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)為41元,則每天可售出300千克;若每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)每降低3元,每天可多賣(mài)出180千克,設(shè)水果店一天的利潤(rùn)為元,當(dāng)每千克的平均銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí),該水果店一天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)計(jì)算時(shí),其它費(fèi)用忽略不計(jì).)

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【題目】在“停課不停學(xué)”期間,某校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)本校同學(xué)觀看教學(xué)視頻所使用的工具進(jìn)行了調(diào)查,并從中隨機(jī)抽取部分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行分析,將分析結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖.

工具

人數(shù)

頻率

手機(jī)

44

a

平板

b

0.2

電腦

80

c

電視

20

d

不確定

16

0.08

請(qǐng)根據(jù)上述信息回答下列問(wèn)題:

1)所抽取出來(lái)的同學(xué)共   人,表中a   ,b   ;

2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

3)若該校觀看教學(xué)視頻的學(xué)生總?cè)藬?shù)為2500人,則使用電腦的學(xué)生人數(shù)約   人.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是原點(diǎn),矩形OABC的頂點(diǎn)Ax軸的正半軸上,頂點(diǎn)Cy的正半軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(53),拋物線經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)D,連接BD

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn),以M、BD為頂點(diǎn)的三角形的面積是6,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

3)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿D→B勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿B→A→D勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),PQ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),以DP、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的值.

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