【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°,將△DAE繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM.
(1)求證:EF=MF;(2)當AE=1時,求EF的長.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=DM,∠EDM為直角,可得出∠EDF+∠MDF=90°,由∠EDF=45°,得到∠MDF為45°,可得出∠EDF=∠MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等,由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出EF=MF;
(2)由第一問的全等得到AE=CM=1,正方形的邊長為3,用AB﹣AE求出EB的長,再由BC+CM求出BM的長,設(shè)EF=MF=x,可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,即為EF的長.
(1)證明:∵△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM,
∴DE=DM,∠EDM=90°,
∵∠EDF=45°,∴∠FDM=45°,
∴∠EDF=∠FDM.
又∵DF=DF,DE=DM,
∴△DEF≌△DMF,
∴EF=MF;
(2)解:設(shè)EF=MF=x,
∵AE=CM=1,AB=BC=3,
∴EB=AB﹣AE=3﹣1=2,BM=BC+CM=3+1=4,
∴BF=BM﹣MF=4﹣x.
在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,
即22+(4﹣x)2=x2,
解得:x=,
則EF的長為.
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【題目】已知:AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長BD到點C,使AB=AC,連結(jié)AC,過點D作DE⊥AC,垂足為E.
(1)求證:DC=BD;
(2)求證:DE為⊙O的切線.
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【題目】已知拋物線C1:y=﹣ x2+bx+c的對稱軸是x=2,且經(jīng)過點(6,0).
(1)求拋物線C1的解析式;
(2)將拋物線C1向下平移2個單位后得到拋物線C2 , 如圖,直線y=kx﹣2k+1交拋物線C2于A,B兩點(點A在點B的左邊),交拋物線C2的對稱軸于點C,M(xA , 3),xA表示點A橫坐標,求證:AC=AM;
(3)在(2)的條件下,請你參考(2)中的結(jié)論解決下列問題:
①若CM=AM,求 的值;
②請你探究:在拋物線C2上是否存在點P,使得PO+PC取得最小值?如果存在,求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知關(guān)于x、y的方程組,給出下列結(jié)論:
①是方程組的解;②無論a取何值,x,y的值都不可能互為相反數(shù);
③當a=1時,方程組的解也是方程x+y=4﹣a的解;④x,y的都為自然數(shù)的解有4對.
其中正確的個數(shù)為( )
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩:我問開店李三公,眾客都來到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩中后兩句的意思是:如果每一間客房住7人,那么有7人無房可;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.
(1)求該店有客房多少間?房客多少人?
(2)假設(shè)店主李三公將客房進行改造后,房間數(shù)大大增加.每間客房收費20錢,且每間客房最多入住4人,一次性定客房18間以上(含18間),房費按8折優(yōu)惠.若詩中“眾客”再次一起入住,他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?/span>
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【題目】如圖,菱形ABCD中,對角線AC=6,BD=8,M、N分別是BC、CD的中點,P是線段BD上的一個動點,則PM+PN的最小值是 ____.
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【題目】如圖,正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合,將△AEF繞其頂點A旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,當BE=DF時,∠BAE的大小可以是__.
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【題目】在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=0.6,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn),得到△A1B1C.
(1)如圖1,當點B1在線段BA延長線上時.①求證:BB1∥CA1;②求△AB1C的面積;
(2)如圖2,點E是BC邊的中點,點F為線段AB上的動點,在△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)過程中,點F的對應(yīng)點是F1 , 求線段EF1長度的最大值與最小值的差.
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