【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,連接AC,AD=2CD,點(diǎn)E在AD邊上.
(1)如圖1,若∠ECD=30°,CE=4,求△AEC的面積;
(2)如圖2,延長BA至點(diǎn)F使得AF=2CD,連接FE并延長交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)D作DH⊥EG于點(diǎn)H,連接AH,求證:FH=AH+DH;
(3)如圖3,將線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°<α<360°)得到線段AE′,連接CE′,點(diǎn)N始終為CE′的中點(diǎn),連接DN,已知CD=AE=4,直接寫出DN的取值范圍.
【答案】(1)12﹣2;(2)證明見解析(3)2<DN≤2
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)30°的直角三角形求CD和ED,再利用面積公式求△AEC的面積;
(2)作輔助線,構(gòu)建全等三角形,證明△AFM≌△ADH,得AM=AH,F(xiàn)M=DH,則△MAH是等腰直角三角形,有MH=AH,根據(jù)線段的和代入得結(jié)論;
(3)根據(jù)將線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°<α<30°)得到線段AE′,先計(jì)算當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)時(shí)DN的最小值和最大值,當(dāng)α=0°時(shí),DN最小;當(dāng)α=180°時(shí),DN最大,分別計(jì)算,寫出結(jié)論.
試題解析:(1)在Rt△EDC中,∵∠EDC=30°,
∴ED=EC=×4=2,cos30°=,
∴DC=ECcos30°=4×=2,
∴AE=2DC﹣ED=4﹣2,
∴=×AE×DC=(4﹣2)×2=12﹣2;
(2)過A作AM⊥AH,交FG于M,
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°,
又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°,
∴∠FAM=∠DAH,
∵AF∥CD,
∴∠F=∠FGD
∵DH⊥EG,
∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°,
∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°,
∴∠FGD=∠EDH,
∴∠F=∠EDH,
又∵AF=2CD,AD=2CD,
∴AF=AD,
∴△AFM≌△ADH,
∴AM=AH,F(xiàn)M=DH,
∴△MAH是等腰直角三角形,
∴MH=AH,
∵FH=MH+FM,
∴FH=AH+DH;
(3)∵線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°<α<306°)得到線段AE′,
當(dāng)α=0°時(shí),點(diǎn)E′在AD中點(diǎn),如圖3,
∵四邊形ABCD為矩形,CD=AE=4,AD=2CD,
∴∠CDE′=90°,DE′=CD=4,
∴△CDE′是等腰三角形,
又∵N是CE′的中點(diǎn),
∴CE′⊥DN,
此時(shí)DN的值最小為2;
當(dāng)α=180°時(shí),E′在AD的延長線上,DN最長,
過N作CD垂線交CD于點(diǎn)M,
∵DE′=AE′+AD=12,CD=4,
∵MN⊥DC,DE′⊥DC,
∴MN∥DE′,
∴△CDE′∽△CMN,
∴=,
∴MN=6,
則CM=DM=2,
∴在Rt△DMN中,DN==2,
∵0°<α<360°
∴2<DN≤2.
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(1)求這條最近的簡(jiǎn)易公路的長(精確到0.1千米)?
(2)現(xiàn)由甲、乙兩施工隊(duì)共同合作修建這條公路,已知甲施工隊(duì)修建2千米后,由乙施工隊(duì)繼續(xù)修建,乙施工隊(duì)每天施工的速度是甲施工隊(duì)每天施工速度的1.6倍,8天后,公路正式通車。求甲、乙兩施工隊(duì)每天修建公路多少千米?
(參考數(shù)據(jù):,)
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A.1.5小時(shí)以上 B.1—1.5小時(shí) C.0.5—1小時(shí) D.0.5小時(shí)以下
根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖如下:
請(qǐng)你根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 人,圖(2)中選項(xiàng)C的圓心角度數(shù)為 度,請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖。
(2)選擇D選項(xiàng)的人中有2人來自一班,2人來自二班,學(xué)校準(zhǔn)備從這4人中任選兩人參加學(xué)校組織的師生趣味運(yùn)動(dòng)會(huì),請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖的方法,求出所選的兩人均來自同一個(gè)班的概率.
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