Question

已知：如圖（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如圖（2））．
（1）探究DB′與EC′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=60°時(shí)，猜想DB′與AE的位置關(guān)系并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由于AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，則AD=AE=

1

2

AB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，則AB′=AC′，根據(jù)三角形全等的判定方法可得到△B′AD≌△C′AE（SAS），則有DB′=EC′；
（2）DB'∥AE．如圖2，延長(zhǎng)AE使AE=EF，連接FC'．易證△AFC'是等邊三角形，則由“三線合一”的性質(zhì)推知∠AEC'=90°．結(jié)合△B′AD≌△C′AE，得
∠ADB'=∠AEC'=90°，則∠ADB'=∠DAE=90°，故DB'∥AE．

解答：（1）DB'=EC'…（1分）
證明：D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)，
∴AD=

1

2

AB，AE=

1

2

AC．
∵AB=AC，
∴AD=AE．
∵△B′AC′是△BAC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠DAB′=∠EAC′=α，AC′=AC=AB′=AB，
在△B′AD與△C′AE中，

AD=AE ∠DAB′=∠EAC′ AB′=AC′

，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′；

（2）猜想：DB'∥AE．
延長(zhǎng)AE使AE=EF，連接FC'．
∴AC'=AF
∵α=60°
∴△AFC'是等邊三角形
∴C'E⊥AF，即∠AEC'=90°
由△B′AD≌△C′AE，得∠ADB'=∠AEC'=90°
∴∠ADB'=∠DAE=90°
∴DB'∥AE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角都等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．