Question

如圖，扇形ODE的圓心角為120°，正三角形ABC的中心恰好為扇形ODE的圓心，且點B在扇形ODE內(nèi)
（1）請連接OA、OB，并證明△AOF≌△BOG；
（2）求證：△ABC與扇形ODE重疊部分的面積等于△ABC面積的

1

3

．

Answer 1

證明：（1）如圖，連接OA、OB，設(shè)OD交AB于F，OE交BC于G，
∵O是正三角形的中心，
∴OA=OB，∠OAF=∠OBG，∠AOB=120°，
∴∠AOF=120°-∠BOF，
∠BOG=120°-∠BOF，
∴∠AOF=∠BOG，
在△AOF和△BOG中

∠OAF=∠OBG OA=OB ∠AOF=∠BOG

，
∴△AOF≌△BOG（ASA），

（2）當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的

1

3

．
證明如下：
①當扇形的圓心角與正三角形的中心角重合時：
顯然，△ABC與扇形重疊部分的面積等于△ABC的面積的

1

3

；
②當扇形的圓心角與正三角形的中心角不重合時：
根據(jù)（1）中△AOF≌△BOG（ASA），
即S_{四邊形OFBG}=S_△AOB=

1

3

S_△ABC，
即△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的

1

3

，
同理可證，當扇形ODE旋轉(zhuǎn)至其他位置時，結(jié)論仍成立．
由①、②可知，當扇形的圓心角為120°時，△ABC與扇形重疊部分的面積，總等于△ABC的面積的

1

3

．